Зависимые и независимые случайные величины
Мы назвали две случайные величины независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. Из этого определения следует, что условные распределения независимых величин равны их безусловным распределениям. Выведем необходимые и достаточные условия независимости случайных величин. Теорема. Для того чтобы случайные величины X и Y были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы функция распределения системы (X, Y) была равна произведению функций распределения составляющих; F(x, У) = Fx (х) Ft (у). Доказательство, а) Необходимость. Пусть X и Y независимы. Тогда события X < х и Y < у неза висимы, следовательно, вероятность совмещения этих событий равна произведению их вероятностей: Р(Х< х, Y <у) = Р(Х <x)P(Y <у), ИЛИ F(x, y)-F1(x)Fi(y). б) Достаточность. Пусть F (х, у) = Ft(x) Fa(y). Отсюда Р(Х<х, Y <у) = Р(Х <x)P(Y <у), т. е. вероятность совмещения событий X < х и У < у равна произведению вероятностей этих событий. Следовательно, случайные величины X и Y независимы. Следствие. Для того чтобы непрерывные случайные величины X и Y были независимыми, необходимо и достаточно, чтобы плотность совместного распределения системы (X, Y) была равна произведению плотностей распределения составляющих: f(x, y) = fi(x)ft(y). Доказательство, а) Необходимость. Пусть X и Y —независимые непрерывные случайные величины. Тогда (на основании предыдущей теоремы) F(x, y) = F1(x)Ft(y). Дифференцируя это равенство по х, затем по у, имеем d*F dFjdF, дхду дх ду ' или (по определению плотностей распределения двумерной и одномерной величин) f(x, y) = ft(x)fM(y).
|
