Убедимся на примере, что две зависимые величины могут быть некоррелированными.
Пример. Двумерная случайная величина (X, У) задана плотностью распределения: М*. У)= 1/6л внутри эллипса х*/9+у2/4=1; /( х, у)= О вне этого эллипса. Доказать, что X и У — зависимые некоррелированные величины. Решение. Воспользуемся ранее вычисленными плотностями распределения составляющих X и У (см. § 12): | ^ ^ = 9п ^ 9 — *1’ /2 (У)~2п У 4 — 4,3 “«УТР11 заданного эллип- са и f j (х) = 0, {у)— 0 вне его. Так как f (х, у) ф f\(x) ft{y), то X и У — зависимые величины (см. § 16). Для того чтобы доказать некоррелированность X и У, достаточно убедиться в том, что цху = 0. Найдем корреляционный момент по формуле (см. § 17) ИхУ= J J l*-M(X))ly-M(y))f(x, y)dxdy. Поскольку функция fl (х) симметрична относительно оси Оу, то Л4(Х)=0; аналогично, М (У) =0 в силу симметрии /_ (у) относительно оси Ох. Следовагельно, Внутренний нитеграл равен нулю (подынтегральная функция иечетиа, пределы интегрирования симметричны относительно начала координат), следовательно, \ixy = Q, т. е. зависимые случайные величины X и У некоррелированы. Итак, из коррелированное™ двух случайных величин следует их зависимость, но из зависимости еще не вытекает коррелированность. Из независимости двух величин следует их некоррелированность, но из некоррелированности еще нельзя заключить о независимости этих величин. Заметим, однако, что из некоррелированности нормально распределенных величин вытекает их независимость. Это утверждение будет доказано в следующем параграфе.
|
