Убедимся на примере, что две зависимые величины могут быть некоррелированными.

Пример. Двумерная случайная величина (X, У) задана плот­ностью распределения:

М*. У)= 1/6л внутри эллипса х*/9+у²/4=1;

/( х, у)= О вне этого эллипса.

Доказать, что X и У — зависимые некоррелированные величины.

Решение. Воспользуемся ранее вычисленными плотностями распределения составляющих X и У (см. § 12):

^ ^ ⁼ 9п ^ ^{9 —} *¹’ /2 (У)~2п У ^{4 — 4,3} “«УТР¹¹ заданного эллип-

са и f j (х) = 0, {у)— 0 вне его.

Так как f (х, у) ф f\(x) f_t{y), то X и У — зависимые величины (см. § 16).

Для того чтобы доказать некоррелированность X и У, доста­точно убедиться в том, что ц_ху = 0. Найдем корреляционный момент по формуле (см. § 17)

Поскольку функция f_l (х) симметрична относительно оси Оу, то Л4(Х)=0; аналогично, М (У) =0 в силу симметрии /_ (у) относи­тельно оси Ох. Следовагельно,

Внутренний нитеграл равен нулю (подынтегральная функция иечетиа, пределы интегрирования симметричны относительно начала коорди­нат), следовательно, \i_xy = Q, т. е. зависимые случайные величины X и У некоррелированы.

Итак, из коррелированное™ двух случайных величин следует их зависимость, но из зависимости еще не вы­текает коррелированность. Из независимости двух вели­чин следует их некоррелированность, но из некоррели­рованности еще нельзя заключить о независимости этих величин.

Заметим, однако, что из некоррелированности нор­мально распределенных величин вытекает их независи­мость. Это утверждение будет доказано в следующем параграфе.