Б) Достаточность. Пусть
fix, y) = fl(x)f2(y). Интегрируя это равенство по х и по у, получим Ух X у f(x, у) dx dy = J fr(x)dx j f, (y) dy, CD — 00 или (см. § 8 гл. XIV и § 3 гл. XI) F(x, у) = Ft (x) Ft (y). Отсюда (на основании предыдущей теоремы) заключаем, что X и Y независимы. Замечание. Так как приведенные выше условия являются необходимыми и достаточными, то можно дать новые определения независимых случайных величин: две случайные величины называют независимыми, если функция распределения системы этих величин равна произведению функций распределения составляющих; две непрерывные случайные величины называют независимыми, если плотность совместного распределения системы этих величин равна произведению плотностей распределения составляющих. Пример. Двумерная непрерывная случайная величина (X, У) задана плотностью совместного распределения fix, у) — (sin х sin у)/А в квадрате 0<х<л, вне квадрата f (х, у) —0. Доказать, что составляющие X и У независимы. Решение. Используя формулы (*) и (**) § 12, легко найдем плотности распределения составляющих: ft (х) = sin х/2, /а (у) = sin у 12. Плотность совместного распределения рассматриваемой системы равна произведению плотностей распределения составляющих, поэтому X и V независимы. Разумеегся, можно было доказать, что условные законы распределения составляющих равны их безусловным законам, откуда также следует независимость X и Y.
|
