Отыскание плотностей вероятности составляющих двумерной случайной величины
Пусть известна плотность совместного распределения вероятностей системы двух случайных величин. Найдем плотности распределения каждой из составляющих. Найдем сначала плотность распределения составляющей X. Обозначим через Ft(x ) функцию распределения составляющей X. По определению плотности распределения одномерной случайной величины, Приняв во внимание соотношения * U F(x, у) =» J J f(x, у) dx dy (cm. § 8), 00 —40 F1(x) = F(x, oo) (cm. § 4), Найдем X 00 Ft(x)= J S fix. y) dx dy. CO — 00 Продифференцировав обе части этого равенства по х, получим Или М^)= J fix. y)dy. (*) Оо Аналогично находится плотность распределения составляющей Y: «D Му)= S f(x> y)dx. (**) OD Итак, плотность распределения одной из составляющих равна несобственному интегралу с бесконечными пределами от плотности совместного распределения системы, причем переменная интегрирования соответствует другой составляющей. Пример. Двумерная случайная величина (X, У ) задана плотностью совместного распределения г/* «л —J 1/(6п) ПР" *V9 + 0*/4 < 1, ft*. W —^ о при хз/9 + у»/4>1. Найти плотности распределения составляющих X и У. Решение. Найдем плотность распределения составляющей X по формуле (*): V 1 - *•/» 2 V 1 -к‘/9 '■М-Ёг I *-5Г ^ 2 У I —**/9 0 Итак, , 2 У~ 9— jc2/(9п) при | х | < 3, 'll ' \ 0 при |х|гг=3. ■Аналогично, используя формулу (**), найдем плотность распределения составляющей У: f (и\ = i ^4—^*/(2я) при I у I < 2. 0 при \у |Ss2.
|
