Условные законы распределения составляющих системы непрерывных случайных величин
Пусть ( X, Y) — непрерывная двумерная случайная величина. Условной плотностью ф (х \ у) распределения составляющих X при данном значении Y = у называют отношение плотности совместного распределения f ( х, у) системы ( X, У) к плотности распределения f2(y) составляющей У: <f>(x\y) = f(x, yVfJy). (*) Подчеркнем, что отличие условной плотности ф (JC J */) от безусловной плотности /, (х) состоит в том, что функция ф (х | у) дает распределение X при условии, что составляющая У приняла значение У = у\ функция же /j (х) дает распределение X независимо от того, какие из возможных значений приняла составляющая У. Аналогично определяется условная плотность составляющей У при данном значении X = х: = f (х, t/)/M*). (**) Если известна плотность совместного распределения f (х, у), то условные плотности составляющих могут быть найдены в силу (*) и (**) (см. § 12) по формулам: Ф (х I У) = / (*, y)l S f (X, у) dx, (***) — 00 00 *) = /(*, y)l S /(*.y)dy. (****) Оо Запишем формулы (*) и (**) в виде fix, y) = f3(y)<P(x\y), f(x, y)=‘fl(x)^(y\х). Отсюда заключаем: умножая закон распределения одной из составляющих на условный закон распределения другой составляющей, найдем закон распределения системы случайных величин. Как и любая плотность распределения, условные плотности обладают следующими свойствами: Во <Р (х I У) > О, J ф {х | у) dx = 1; D Ч>(У|*)>0, J <t>(y\x)dy= 1. QO Пример. Двумерная случайная величина (X, У) задана плотностью совместного распределения ч_ J ПРН х*+Уш < г*, И*’ У) \0 при + > г2. Найти условные законы распределения вероятностей составляющих. Р е ш е и и е. Найдем условную плотность составляющей X при | х | < Vгг — у* по формуле (***): -Vr*-y* Так как f (х, у) —0 при дс* + у* > г*, то <р(дс|у)=0 при |дс| > > Уг*-у*. Пользуясь формулой (**•**), аналогично найдем условную плотность составляющей Y : ....) ч\* г г* —Xs) при \у\ < У т*— х*. т|> (У I *) при \ у\ > Угг — Хг.
|
