Теорема 1. Корреляционный момент двух независимых случайных величин X и Y равен нулю.
Доказательство. Так как X и Y — независимые случайные величины, то их отклонения X — М (X) и — М (Y ) также независимы. Пользуясь свойствами математического ожидания (математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей) и отклонения (математическое ожидание отклонения равно нулю), получим = М {[X -М (X)][Y-М (К)]} = = М[Х — M(X)]M[Y— М(У)] = 0. Из определения корреляционного момента следует, что он имеет размерность, равную произведению размерностей величин X и У. Другими словами, величина корреляционного момента зависит от единиц измерения случайных величин. По этой причине для одних и тех же двух величин величина корреляционного момента имеет различные значения в зависимости от того, в каких единицах были измерены величины. Пусть, например, X и К были измерены в сантиметрах и цХу = 2 см2; если измерить X и У в миллиметрах, то цЯ1, = 200 мм. Такая особенность корреляционного момента является недостатком этой числовой характеристики, поскольку сравнение корреляционных моментов различных систем случайных величин становится затруднительным. Для того чтобы устранить этот недостаток, вводят новую числовую характеристику—коэффициент корреляции. Коэффициентом корреляции гХу случайных величин X и У называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин: ?ху ~ V‘xy!ipx0y'). (*) Так как размерность цху равна произведению размерностей величин X и Y, ох имеет размерность величины X, оу имеет размерность величины К (см. гл. VIII, § 7), то гХу —безразмерная величина. Таким образом, величина коэффициента корреляции не зависит от выбора единиц измерения случайных величин. В этом состоит преимущество коэффициента корреляции перед корреляционным моментом. Очевидно, коэффициент корреляции независимых случайных величин равен нулю (так как р,хи = 0). Замечание 3. Во многих вопросах теории вероятностей целесообразно вместо случайной величины X рассматривать нормированную случайную величину Х‘, которую определяют как отношение отклонения к среднему квадратическому отклонению: Х' = (Х-М(Х))/ах. Нормированная величина имеет математическое ожидание, равное нулю, и дисперсию, равную единице. Действительно, используя свойства математического ожидания и дисперсии, имеем: М (Х')=М =^- М[Х — М(Х)] • 0 = 0; D(X') = D [*-~М (Х)1 =-^D[X — M (X)]=^£l=l. L ах J ах oj Легко убедиться, что коэффициент корреляции гху равен корреляционному моменту нормированных величин X' и Y : Г _м М М Л1 [Х — М (X) Y — М (У)1 Гху °x°v L <*х оу J ~ = М (X'Y') = n х,у,' Теорема 2. Абсолютная величина корреляционного момента двух случайных величин X и Y не превышает среднего геометрического их дисперсий: \l*Xy\<VDxDy. Доказательство. Введем в рассмотрение случайную величину Z1=OyX — oxY и найдем ее дисперсию D(Z1) = M[Zl — m Zt]2. Выполнив выкладки, получим D (Zt) = 2a2xol—2axayiKxy. Любая дисперсия неотрицательна, поэтому 2a£aJ— 2oxayixxv^ 0. Отсюда И-ху < охау. (**) Введя случайную величину Z, = <зуХ + охУ, аналогично найдем <W (***) Объединим (**) и (***): —а*ау < V-Xy < (****) Или I (**»!<«*»»• Итак, v-xv<Vdxdv. Теорема 3. Абсолютная величина коэффициента корреляции не превышает единицы: \гху\<\. Доказательство: Разделим обе части двойного неравенства (****) на произведение положительных чисел <W — 1 <гху< 1. Итак,
|
