Знак при радикале в соответствии с замечанием 1 должен совпадать со знаком коэффициентов регрессии.

Методика вычисления выборочного коэффициента корреляции

Пусть требуется по данным корреляционной таблицы вычислить выборочный коэффициент корреляции. Можно значительно упростить расчет, если перейти к

В этом случае выборочный коэффициент корреляции вы­числяют по формуле

Г_в = (2 n_avuv—nuv)/(no_a6_v).

Величины и, v, о_и и o_v можно найти методом произве­дений (см. гл. XVII, § 4), а при малом числе данных — непосредственно исходя из определений этих величин. Остается указать способ вычисления 2 ⁿav^uv, где n_av — частота пары условных вариант (и, v).

Можно доказать, что справедливы формулы (см. пояс­нение в конце параграфа):

]jjn_avuo=*]jjvU, где U=2n_avu,

= ^гД^е У —2^п»»^и'

Для контроля целесообразно выполнить расчеты по обеим формулам и сравнить результаты; их совпадение свидетельствует о правильности вычислений.

Покажем на примере, как пользоваться приведенными формулами.

Пример 1. Вычислить У, n„„uv по данным корреляционной табл. 14.

Таблица 14

	X	п V
У					so
			—	—	—	—
	—			—	—	—
	—	—				—
	—	—
	—	—	—
							п = 200

Решение. Перейдем к условным вариантам: щ = {Х{ —Ci)//t_x = вв (х,- — 40)/10 (в качестве ложного нуля С_х взята варианта дс = 40, расположенная примерно в середине вариационного ряда; шаг А_х равен разности между двумя соседними вариантами: 20—10 = 10) и vj = (t/j — C₂)/h₂ = ({// — 35)/10 (в качестве ложного нуля С, взята варианта у = 35, расположенная в середине вариационного ряда; шаг h₂ равен разности между двумя соседними вариантами: 25 — 15=10).

Составим корреляционную таблицу в условных вариантах. Прак­тически это делают так: в первом столбце вместо ложного нуля C_t (варианты 35) пишут 0; над нулем последовательно записывают —1, —2; под нулем пишут 1, 2. В первой строке вместо ложного куля С_х (варианты 40) пишут 0; слева от нуля последовательно записывают —1, —2, —3; справа от нуля пишут 1, 2. Все остальные данные переписывают из первоначальной корреляционной таблицы. В итоге получим корреляционную табл. 15 в условных вариантах.

Теперь для вычисления искомой суммы 2jti_avuo составим рас­четную табл. 16. Пояснения к составлению табл. 16:

В каждой клетке, в которой частота n_uv ф 0, записывают в правом верхнем углу произведение частоты п_а~ на варианту и. Напрнмер, в правых верхних углах клеток первой строки записаны произведения: 5-(—3) = —15; 7-(—2) = —14.

Складывают все числа, помещенное в правых верхних углах клеток одной строки и их сумму записывают в клетку этой же строки столбца U. Например, для первой строки U =—15 + (—14)=—29.

Умножают варианту v на U н полученное произведение заци- сывают в последнюю клетку той же строки, т. е, в клетку столбца vU. Например, в первой строке таблицы v — —2, U— — 29; следо­вательно, vU = (—2) ■ (—29) = 58.

Наконец, сложив все числа столбца vU, получают сумму

2 oU, которая равна искомой сумме 2 ⁿar^^v- Например, для табл. 16

о

имеем 2 vU = 169; следовательно, искомая сумма 2 n_atluv= 169.

V	u	1 V =	vU
-3	-2	-l		l
-2	t!L -)0|	lz±L —14	—	—	—	II ~29 II
—1	—	1—40 20 —20|	1—23 -23	—	—	j —63
	—	***	1—30	LSL 0 1	o 1	—	j —28
	—	-	-10 10 10 1	11 11 1	[ 20 20	иц 22 "ПI!
		—		L2_ 18 |	LZ_ 14 |	LG 13 6 I ll
V = na„y	-10	—34	-13			12 II	2^ = 169 V
uV						24 fcS 169 u	«“Контрол bj

g

In

Для контроля аналогичные вычисления производят по столбцам: произведения п_Ц1,и записывают в левый нижний угол клетки, содер­жащей частоту n_BV Ф 0; все числа, помещенные в левых нижних углах клеток одного столбца, складывают и их сумму записывают в строку V; далее умножают каждую варианту и на V и результат записывают в клетках последней строки.

Наконец, сложив все числа последней строки, получают сумму 2“^* которая также равна искомой сумме 2 ^av^uv- Например, для

U

табл. 16 имеем 2 = 169; следовательно, 2 n_uvuv= 169.

и

Теперь, когда мы научились вычислять ]£n_atluv, при­ведем пример на отыскание выборочного коэффициента корреляции.

Пример 2. Вычислить выборочный коэффициент корреляции Г**= (2 Huv^uv —лыо)/(па„а„) по данным корреляционной табл. 14, Решение. Перейдя к условным вариантам, получим корреля­ционную табл. 15. Величины и, о, Ъ_а н Ъ₀ можно вычислить методом произведений; одиако, поскольку числа и /, V/ малы, вычислим ы и U, исходя из определения средней, а а_в и — используя формулы (см. гл. XVI, § 10)

о_и = Уи²—(и)², a_v=Vv² — (v)³.

Найдем и и v:

й = (2 п₀ы)/п = [5.(—3) + 27(—2) + 63-(-1) + 29-1 +

+ 9-2J/200 = — 0,425; v = (2 n_vv)/n = 112- (—2) + 43 • (—1) + 47 -1 +19 • 2]/200 = 0,09.

Вычислим вспомогательную величину и², а затем о_в:

«^а = С5 п„и²)/л = (5.9 + 27-4 + 63-1 + 29-1+9-4)/200= 1,405;

5„ = Уй² — (й)²= У 1,405 —(0,425)*= 1,106.

Аналогично получим о_в= 1,209.

Найдем искомый выборочный коэффициент корреляции, учитывая, что ранее уже вычислена сумма 2 n_uvuv== 169:

r,= (2n_BVuv-nuv)l{na_uo_v) =

= [ 169 — 200 • (—0,425) • 0,09J/(200 • 1,106 -1,209) = 0,603.

Итак, г_в = 0,603.

Пояснение. Покажем, что 2 я„,,цс» = 2 • ^гДе £^ = 2 ⁿuv ^u•

V и

Рассмотрим корреляционную таблицу в условных вариантах (для про­стоты таблица содержит мало данных):

		и
о	“t		“з
	пи ,1'1	nU jt»i	Пиз VI
”2	па tVi		па,ъж

Найдем 2 ⁿav^UD двумя способами: суммируя произведения частот л_от на произведения соответствующих условных вариант uv по строкам и по столбцам. Для первой строки таблицы

^пии>Г ⁿUlVl' ⁿtUVl'

(UsoJ = 2 ⁿavi^U‘ (*)

u