Регрессии У на X.
Поскольку различные значения х признака X и соответствующие им значения у признака У наблюдались по одному разу, то группировать данные нет необходимости. Также нет надобности использовать понятие условной средней, поэтому искомое уравнение можно записать так: у = kx + Ь. Угловой коэффициент прямой линии регрессии У на X называют выборочным коэффициентом регрессии У на X и обозначают через рух; он является оценкой коэффициента регрессии р (см. гл. XIV, § 20). Итак, будем искать выборочное уравнение прямой линии регрессии У на X вида У = Ру*х + Ь. (*) Подберем параметры руж и Ь так, чтобы точки ( xt'• Ui) (х2> Уг) ( хп> Уп)> построенные по данным наблюдений, на плоскости хОу лежали как можно ближе К прямой (*). Уточним смысл этого требования. Назовем отклонением разность Yi—У! (t = 1, 2,..., n), где Y( — вычисленная по уравнению (*) ордината, соответствующая наблюдаемому значению х,-; у ,•— наблюдаемая ордината, соответствующая х{. Подберем параметры руЖ и Ь так, чтобы сумма квадратов отклонений была минимальной (в этом состоит сущность метода наименьших квадратов). Так как каждое отклонение зависит от отыскиваемых параметров, то и сумма квадратов отклонений есть функция F этих /Чр, Ь)= (Уi — Уд2* Или ^(Р. &) = 2 (Р Xt + Ъ—Уд*. < = 1 Для отыскания минимума приравняем нулю соответствующие частные производные: QF Л ф = 2 2 (Р*.- + b — yi)Xi = 0; | = 2 S (pxi + b—у,) = 0. (=i Выполнив элементарные преобразования, получим систему двух линейных уравнений относительно р и Ь[4]}: (2*2)p+(2*)& = 2-^ (2х)р+п6=2у- (**) Решив эту систему, найдем искомые параметры: Pv* = («2 ХУ—2* ‘ 2 уУ(п 2 *а—(2 *)2); =(2 *2 • 2 у—2 * • 2 хуУ(п 2 х%—(2 *)■)• (***) Аналогично можно найти выборочное уравнение прямой линии регрессии X на У: Ху=РхуХ + С, где рХу — выборочный коэффициент регрессии X на Y. Пример. Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии У на X по данным п = 5 наблюдений: х 1,00 1,50 3,00 4,50 5,00 у 1,25 1,40 1,50 1,75 2,25 Решение. Составим расчетную табл. 11. Найдем искомые параметры, для чего подставим вычисленные по таблице суммы в соотношения (***): рху = (5 • 26,975 — 15 • 8,15)/(5 • 57,5 — 152) = 0,202; = (57,5-8,15—15-26,975)/62,5= 1,024. *> Для простоты записи вместо 2 условимся писать 2 • f= 1
Напишем искомое уравнение регрессии: К = 0,202*+1,024. Для того чтобы получить представление, насколько хорошо вычисленные по этому уравнению значения К,- согласуются с наблюдаемыми значениями у;, найдем отклонения К/— у;. Результаты вычислений приведены в табл. 12. Таблица 12
|
