Регрессии У на X.

Поскольку различные значения х признака X и соот­ветствующие им значения у признака У наблюдались по одному разу, то группировать данные нет необходи­мости. Также нет надобности использовать понятие услов­ной средней, поэтому искомое уравнение можно записать так:

Угловой коэффициент прямой линии регрессии У на X называют выборочным коэффициентом регрессии У на X и обозначают через р_ух; он является оценкой коэффици­ента регрессии р (см. гл. XIV, § 20).

Подберем параметры р_уж и Ь так, чтобы точки ( ^xt'• Ui) (^х2> Уг) ( ^хп> У_п)> построенные по данным наб­людений, на плоскости хОу лежали как можно ближе К прямой (*). Уточним смысл этого требования. Назовем отклонением разность

Подберем параметры р_уЖ и Ь так, чтобы сумма квад­ратов отклонений была минимальной (в этом состоит сущность метода наименьших квадратов). Так как каж­дое отклонение зависит от отыскиваемых параметров, то и сумма квадратов отклонений есть функция F этих

^(Р. &) = 2 (Р Xt + Ъ—Уд*.

< = 1

Для отыскания минимума приравняем нулю соответству­ющие частные производные:

QF ^Л

Выполнив элементарные преобразования, получим си­стему двух линейных уравнений относительно р и Ь[4]^}:

(2*²)p+(2*)^{& =} 2-^ (2^х)р+^п6=2у- (**)

Решив эту систему, найдем искомые параметры:

Pv* = («2 ^ХУ—2* ‘ 2 уУ(^п 2 *^а—(2 *)²);

=(2 *² • 2 у—2 * • 2 ^хуУ(^п 2 ^х%—(2 *)■)• (***)

где р_Ху — выборочный коэффициент регрессии X на Y.

Пример. Найти выборочное уравнение прямой линии регрессии У на X по данным п = 5 наблюдений: