В. Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии по сгруппированным данным

В § 4 для определения параметров уравнения прямой линии регрессии У на X была получена система уравнений

Предполагалось, что значения X и соответствующие им значения У наблюдались по одному разу. Теперь же допустим, что получено большое число данных (практи­чески для удовлетворительной оценки искомых парамет­ров должно быть хотя бы 50 наблюдений), среди них есть повторяющиеся, и они сгруппированы в виде корреля­ционной таблицы. Запишем систему (*) так, чтобы она отражала данные корреляционной таблицы. Восполь­зуемся тождествами:

2 х = пх (следствие из х = 2 ^х/^п):

2 У “ ^пУ (следствие из у = 2 У/^пУ>;

2х^[5] = «х* (следствие из х* = 2 ■**/«)»

2^Х0“2^Я*»^Х0 (учтено, что пара чисел ( х, у) наблюда­лась п_Жу раз).

Подставив правые части тождеств в систему (*) и со­кратив обе части второго уравнения на п, получим

(пх¹) ру, + (пх) 6 = 2 п_ху ху,

(*)Р _Ух+Ь=у.

Решив эту систему, найдем параметры p_v* и ft и, следо­вательно, искомое уравнение

Уж^РужХ + Ь.

Однако более целесообразно, введя новую величину — выборочный коэффициент корреляции, написать уравне­ние регрессии в ином виде. Сделаем это. Найдем Ь из второго уравнения (**):

Подставив правую часть этого равенства в уравнение Ух=Р_ух^х + Ь, получим

Найдем *> из системы (*) коэффициент регрессии, учи­тывая, что х * — (х)² = о* (см. гл. XVI, § 10):

Обозначим правую часть равенства через г_в и назовем ее выборочным коэффициентом корреляции (см. замечание 3):