Выборочный коэффициент корреляции

Как следует из предыдущего параграфа, выбо­рочный коэффициент корреляции определяется равенством

'Enj'yxy — nxy Г_в — ~ 9

па_хОу

где х, у —варианты (наблюдавшиеся значения) признаков X и У; п_ху —частота пары вариант (х, у); п —объем выборки (сумма всех частот); а_х, а _у—выборочные средние квадратические отклонения; х, у —выборочные средние.

Известно, что если величины Y и X независимы, то коэффициент корреляции г=0 (см. гл. XIV, § 17); если / = ±1,тоУ и X связаны линейной функциональной зависимостью (см. гл. XIV, § 20). Отсюда следует, что коэффициент корреляции г измеряет силу (тесноту) ли­нейной связи между Y и X.

Выборочный коэффициент корреляции г_в является оценкой коэффициента корреляции г генеральной сово­купности и поэтому также служит для измерения линей­ной связи между величинами—количественными призна­ками Y и X. Допустим, что выборочный коэффициент корреляции, найденный по выборке, оказался отличным от нуля. Так как выборка отобрана случайно, то отсюда еще нельзя заключить, что коэффициент корреляции ге­неральной совокупности также отличен от нуля. Возни­кает необходимость проверить гипотезу о значимости (существенности) выборочного коэффициента корреляции (или, что то же, о равенстве нулю коэффициента корре­ляции генеральной совокупности). Если гипотеза о равен­стве нулю генерального коэффициента корреляции будет отвергнута, то выборочный коэффициент корреляции зна­чим, а величины X и V коррелированы; если гипотеза принята, то выборочный коэффициент корреляции незна­чим, а величины X и Y не коррелированы.

Если выборка имеет достаточно большой объем и хорошо представляет генеральную совокупность (репре­зентативна), то заключение о тесноте линейной зависимо­сти между признаками, полученное по данным выборки, в известной степени может быть распространено и на генеральную совокупность. Например, для оценки коэф­фициента корреляции г_г нормально распределенной гене­ральной совокупности (при п ^ 50) можно воспользо­ваться формулой

г_в—3 < г_г < г_в + 3 l±d, ^в /л ^{г в} V п

Замечание 1. Знак выборочного коэффициента корреляции совпадает со знаком выборочных коэффициентов регрессии,> что сле­дует из формул (см. § 6):

Pyx = r_a^i; р_ж = г_в?£. (*)

а_х " о_у

Замечание 2. Выборочный коэффициент корреляции равеи среднему геометрическому выборочных коэффициентов регрессии. Действительно, перемножив левые и правые части равенств (*), получим

РхуРху—'В'

Отсюда

^гь i г РухРху'