Действительно,
d1—l—п, d2 = 3—п,..., d„ = (2n—1)—п. Следовательно, 2d? = (l-n)*-H3—п)»+...+[(2л — 1) —п]«= = [l«+ 3i+... + (2л — 1)а]—2п[1+3+... +(2л —1)]+- + «•«* = [л (4ла—1)/3] — 2л • л2 + л8 — (л8— п)/ 3. Подставив = —л)/^ в (****)» окончательно получим Рв = 1 • Свойство 3. Если между качественными признаками А и В нет ни «полной прямот, ни «противоположной» зависимостей, то коэффициент рв заключен между — 1 и —(- 1, причем чем ближе к нулю его абсолютная величина, тем зависимость меньше. Пример 1. Найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена по данным ранга объектов выборки объема п=10: У; 6 4 8 1 2 5 10 3 7 9 Решение. Найдем разности рангов di — X[ — у?. —5,—2,—5, 3, 1, 3, 5, 2, 1. Вычислим сумму квадратов разностей рангов: 2d? = 25 + 4 + 25 + 9 + 9+l+9 + 25 + 4+l = 112. Найдем искомый коэффициент ранговой корреляции, учитывая, что п — 10: р„= 1 — [б 2 dV(n* — n)] = 1 — [6 -112/(1000 —10)1 =0,32. Замечание. Если выборка содержит объекты с одинаковым качеством, то каждому из них приписывается ранг, равный среднему арифметическому порядковых номеров объектов. Например, если объекты одинакового качества по признаку А имеют порядковые номера 5 и 6, то их ранги соответственно равны: хл = = (5 + 6)/2 = 5,5; *«= 5,5. Приведем правило, позволяющее установить значимость или незначимость ранговой корреляции связи для выборок объема п^9. Если п < 9, то пользуются таблицами (см., например, табл. 6.10а, 6.106 в книге: Большее Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. М., «Наука», 1965). Правило. Для того чтобы при уровне значимости а проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции рг Спирмена при конкурирующей гипотезе Я^.рг^О, надо вычислить критическую точку: T’kp^kp^ k)Vr(l — pl)/(n — 2), где п — объем выборки, р„—выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена, <кр(a; k) — критическая точка двусторонней критической области, которую находят по таблице критических точек распределения Стьюдента, по уровню значимости а и числу степеней свободы k = п—2. Если |рв|<7\ф—нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Ранговая корреляционная связь между качественными признаками незначима. Если |рв| > Тк р — нулевую гипотезу отвергают. Между качественными признаками существует значимая ранговая корреляционная связь. Пример 2. При уровне значимости 0,05 проверить, является ли ранговая корреляционная связь, вычисленная в примере 1, значимой? Решение. Найдем критическую точку двусторонней критичес- кой'области распределения Стьюдента по уровню значимости а = 0,05 и числу степеней свободы k = n —2=10—2 = 8 (см. приложение 6): *кр (0,05; 8) = 2,31. Найдем критическую точку: 7\,p = fKP<a; k)V(\ — pI)/(«—2). Подставив fK„ = 2,31, n=10, рв = 0,24, получим 7*кр = 0,79. Итак, Гкр = 0,79, рв = 0,24. Так как р„ < Гкр — нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу; ранговая корреляционная связь между признаками незначимая.
|
