Учитывая, что (см. далее пояснение)
= 2 v‘ = («3 — «)/12, Имеем 2 #=2 («.■—и<)8 в 2 uf—2 2 и/°/+2 = *= [(rt®—rt)/6]—2 2Mi0/- Отсюда 2и,У/ = [(«3 —«)/12]~2di/2- (***) Остается найти о„ и av. По определению выборочной дисперсии, учитывая, что и = О, и используя (**), получим £>„ = 2 (и{—и)*/п = 2 uf/rt = (n3—n)/12rt (rta —1)/12. Отсюда среднее квадратическое отклонение au = ]/Jn^l)/l2. Аналогично найдем a„ = VV-l)/12: Следовательно, na„av= ( п 3 — л)/12. Подставив правые части этого равенства и соотношения (***) в (*), окончательно получим выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена рв = 1 —[(6 2 d?)J(n3—n)], (****) где dt — х,-—yt. Пояснение. Покажем, что 2и? = (я* — л)/12. Действительно, учитывая, что 2*,= 1 +2+... + п = (1 -\-п) п/2, х =2 х,-/л = (1 + п)/2, 2x?=l! + 24---+n8 = [n(n + l)(2rt+l)]/6, 2«? =2 (*/—х)2 — 2 х?—2* 2 х{ + п {ху, после элементарных выкладок получим 2и? = (п3^л)/12. Аналогично можно показать, что 2у? = («3—л)/12. Приведем свойства выборочного коэффициента корреляции Спирмена. Свойство 1. Если между качественными признаками А и В имеется «полная прямая зависимость» в том смысле, что ранги объектов совпадают при всех значениях i, то выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена равен единице. Действительно, подставив dj = Xj — yt — 0 в (****), получим Рв= 1. Свойство 2. Если между качественными признаками А и В имеется «противоположная зависимость» в том смысле, что рангу хх = 1 соответствует ранг ух = л; рангу х2 соответствует ранг у2 = п — 1;...; рангу х„ = п соответствует ранг уп — 1, то выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена равен минус единице.
|
