Критерий Вилкоксона и проверка гипотезы об однородности двух выборок

Критерий Вилкоксона *’ служит для проверки однородности двух независимых выборок: x_lt х₂,..., х_П) и у_1г Vit • • • > Ул,- Достоинство этого критерия состоит в том, что он применим к случайным величинам, распределения которых неизвестны; требуется лишь, чтобы величины были непрерывными.

Если выборки однородны, то считают, что они извле­чены из одной и той же генеральной совокупности и, следовательно, имеют одинаковые, причем неизвестные, непрерывные функции распределения F_t(x) и /*■, (х).

Таким образом, нулевая гипотеза состоит в том, что при всех значениях аргумента (обозначим его через х) функции распределения равны между собой: F₁(x) = F₂(x).

Конкурирующими являются следующие гипотезы: F₁(x)=^F₂(x), F_t (х) < F_a (х) и F_t (х) > F₂ (х).

Заметим, что принятие конкурирующей гипотезы Н_х: F_x (х ) < F₂ (х) означает, что X > Y. Действительно, неравенство F_t (х) < F₂ (х) равносильно неравенству Р (X < х) < Р (У < х). Отсюда легко получить, что Р(Х > х) > Р (К> х). Другими словами, вероятность того, что случайная величина X превзойдет фиксированное действительное число х, больше, чем вероятность слу­чайной величине Y оказаться большей, чем х\ в этом смысле X > У.

Аналогично, если справедлива конкурирующая гипо­теза H₁:F_X (х) > F_a (у), то X < У.

*> В 1945 г. Вилкоксон опубликовал критерий сравнения двух выборок одинакового объема, в 1947 г. Манн и Уитни обобщили кри­терий иа выборки различного объема.

Далее предполагается, что объем первой выборки меньше (не больше) объема второй: если это не