Основы построения математических моделей на микроуровне

Для построения математических моделей технических объ­ектов с распределенными параметрами используют фундамен­тальные физические законы. К ним относятся, прежде всего, за­коны сохранения (массы, энергии, импульса).

Общая формулировка закона сохранения: изменение во вре­мени некоторой субстанции в элементарном объеме равно сумме притока-стока этой субстанции через его поверхность с учетом скорости генерации или уничтожения субстанции в этом объеме.

Уравнение, соответствующее данной формулировке, имеет вид

(6.1)

где φ – фазовая переменная (координата), выражающая субстан­цию; – вектор плотности потока фазовой переменной; – дивергенция вектора ; G – скорость генерации или уничтожения субстанции.

У трехмерного технического объекта вектор состоит из трех составляющих, направленных параллельно осям декартовой системы координат х, у, z. Дивергенция век­тора – скалярная величина, определяемая выражением

(6.2)

Дивергенция вектора плотности потока характеризует сум­му притока-стока субстанции через поверхность элементарного объема. В качестве субстанции в различных физических законах выступают: масса, энергия, импульс и др.

Уравнение закона сохранения массы

(6.3)

где ρ – плотность массы, кг/м³; – вектор плотности потока массы:

(6.4)

– вектор скорости переноса массы.

Уравнение (6.3) в гидроаэродинамике называют уравнением неразрывности.

В одномерном случае, когда скорость направлена лишь вдоль оси х, уравнение (6.3) имеет вид

(6.5)

Плотность потока массы измеряется в кг/(м²∙с). Из уравнения неразрывности (6.5) следует частный случай стационарного () одномерного течения по оси x в канале переменного сечения:

, откуда ,

где G, кг/c – массовый секундный расход в канале площадью поперечного сечения f. Из последнего уравнения следует постоянство расхода при стационарном течении в канале

,

а при течении несжимаемой среды (r=const) следует обратно пропорциональная зависимость между скоростью течения и площадью поперечного сечения канала: скорость возрастает в сужающихся и падает в расширяющихся участках канала.

Уравнение закона сохранения энергии

(6.6)

где Е = е + v²/2 ­– полная энергия единицы массы; е – внутренняя энергия единицы массы; ρЕ – энергия единицы объема Дж/м³; – вектор плотности потока энергии; G_Е – скорость генерации или поглощения энергии в единице объема, Дж/(м³∙с).

В одномерном случае поток энергии направлен только вдоль оси х, тогда J_E=J_Ex, а уравнение (6.6) принимает вид

(6.7)

Плотность потока энергии измеряется в Вт/м².

Уравнение закона сохранения импульса ис­пользуют при моделировании движения потока жидкости (газа). Для потока идеальной жидкости (без учета сил трения, обусловленных вязкостью) уравнение имеет вид

(6.8)

где – вектор импульса единицы объема жидко­сти; р – давление жидкости; grad р – градиент давления.

Градиентом называют векторную функцию скалярного ар­гумента. Компонентами вектора градиента являются частные производные аргумента по пространственным координатам. Гра­диент давления

.

Для одномерного потока жидкости из уравнения (6.8) получаем

(6.9)

При учете сил трения () и массовых сил (тяжести) уравнение закона со­хранения импульса для несжимаемой среды (ρ=сonst) имеет вид

(6.10)

где g – ускорение свободного падения; η – динамическая вязкость Па∙с; – оператор Лапласа: .

Уравнение (6.10) называют уравнением Навье–Стокса. Для одномерного потока жидкости, движущейся в направлении оси x при поперечной силе трения (v_x=v_x(y)), это уравнение имеет вид:

(6.11)

где g_x – проекция вектора на ось x.