Примеры. § В трёхмерном вещественном векторном пространстве векторов введение скалярного произведения по формуле превращает это пространство в евклидово
§ В трёхмерном вещественном векторном пространстве векторов введение скалярного произведения по формуле превращает это пространство в евклидово пространство. Аналогичное утверждение верно для евклидова пространства любой размерности (в сумму тогда входит количество членов, равное размерности пространства). § В любом евклидовом пространстве (размерности n) всегда можно выбрать[1] ортонормированный базис при разложении векторов по которому: , итд, скалярное произведение будет выражаться приведенной выше формулой: . 25) Рассмотрим свойства скалярного произведения. 1. Скалярное произведение двух векторов подчиняется коммутативному закону, т.е. для любых векторов и . Очевидно, из определения скалярного произведения: . 2. Для любого числа λ и любых векторов имеем: . Для любых векторов выполняется равенство . 1. Для любого вектора выполняется соотношение . Действительно, так как , то . Из этого свойства в частности следует . 2. Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда,когда равен нулю один из сомножителей или векторы перпендикулярны. 26) Ортонормированная система Для любых элементов этой системы φ i,φ j скалярное произведение (φ i,φ j) = δ ij, где δ ij — символ Кронекера. Ортонормированная система в случае её полноты может быть использована в качестве базиса пространства. При этом разложение любого элемента может быть вычислено по формулам: , где . Ортогонализация ― алгоритм построения для данной линейно независимой системы векторов евклидова или эрмитова пространства V ортогональной системы ненулевых векторов, порождающих то же самое подпространство в V. Наиболее известным является процесс Грама ― Шмидта, при котором по линейно независимой системе строится ортогональная система такая, что каждый вектор bi линейно выражается через , то есть матрица перехода от { ai } к { bi } ― верхнетреугольная матрица. 27) Квадратичная форма — функция на векторном пространстве, задаваемая однородным многочленом второй степени от координат вектора. Пусть есть векторное пространство над полем и — базис в . Функция называется квадратичной формой, если её можно представить в виде где , а — некоторые элементы поля . Матрицу называют матрицей квадратичной формы в данном базисе. В случае, если характеристика поля не равна 2, можно считать, что матрица квадратичной формы симметрична, то есть .
|