Билет 65 прямая сумма линейных подпространств
Прямой суммой двух линейных подпространств Lt и L2 векторного -пространства R называется сумма этих подпространств при условии, что их пересечение состоит лишь из нулевого вектора, т. Если любой вектор x Î X может быть единственным образом представлен в виде x = x1 + x2, где x1 Î X1 и x2 Î X2, то говорят, что пространство X разложено в прямую сумму подпространств X1 и X2. Прямая сумма обозначается X = X1 + X2. Любое линейное пространство может быть разложено в прямую сумму нескольких подпространств. В частности, разложение вектора по базису связано с разложением n–мерного пространства в прямую сумму n одномерных подпространств.
Билет 66 Прямое дополнение линейного подпространства Рассмотрим снова линейное пространство V над полем P и линейное подпространство W V. Определение 9.3. Линейное подпространство W V называ- ется прямым дополнением к подпространству W, если
W ⊕ W = V. (9.15)
Предложение 9.4. Пусть V линейное пространство размерно- сти n над полем P, а W произвольное линейное подпространство (размерности k) в пространстве V. Тогда 1) существует прямое дополнение W для подпространства W, причем размерность любого прямого дополнения равна коразмер- ности данного пространства:
dim(W) = codim(W) = n − k; (9.16)
более того, 2) для любого подпространства U V, независимого с W, т. е. такого, что W ∩ U = O, (9.17) существует прямое дополнение к W, содержащее U.
|
