Билет 68 Ортогональное дополнение

Ортогональным дополнением непустого подмножества евклидова пространства называется множество векторов, ортогональных каждому вектору из . Ортогональное дополнение обозначается

Рассмотрим примеры ортогональных дополнений евклидова пространства.

1. Ортогональным дополнением нулевого подпространства служит все пространство . Ортогональным дополнением всего пространства является его нулевое подпространство .

2. Пусть в пространстве радиус-векторов (с началом в точке ) за даны три взаимно перпендикулярных радиус-вектора , и . Тогда ортогональным дополнением вектора является множество радиус- векторов на плоскости, содержащей векторы и , точнее,. Ортогональным дополнением векторов и служит множество радиус-векторов на прямой, содержащей вектор. Ортогональным дополнение трех заданных векторов служит нулевой радиус-вектор:.

3. В пространстве многочленов степени не выше второй со скалярным произведением (8.29) задано подмножество - многочленов нулевой степени. Найдем ортогональное дополнение этого подмножества. Для этого приравняем нулю скалярное произведение многочлена на постоянный многочлен . Поскольку величина произвольная, то . Следовательно, ортогональным дополнением подмножества является множество многочленов из с нулевым свободным членом.

 

Билет 69 Линейные формы

Пусть X — линейное пространство. Линейное отображение l: X → R называется линейной формой, или линейной функцией, или линейным функционалом. Это означает, что " x ₁, x ₂ Î X и " α; Î R

l(x ₁ + x ₂) = l(x ₁) + l(x ₂), l(αx ₁) = α; l(x ₁).

Теорема 1. Множество линейных форм (функций), заданных на X, является линейным пространством относительно операций

l = l1 + l2 ÜÞ " x Î X: l(x) = l1(x) + l2(x),

 

l = α;l1 ÜÞ " x Î X: l(x) = α; l1(x).

В качестве нулевого элемента l = θ выбирается линейная функция l(x) такая, что " x Î X l(x) = 0. Это пространство называется сопряженным к X и обозначается X ^*. Теорема 2. Размерности пространств X и X ^* равны. Пусть e ₁, e ₂, …, e_n — базис в X_n. Матрицей линейной формы называется матрица–строка

æ è l(e 1), l(e 2), …, l(en) ö ø .

Обозначим l _i = l(e_i) коэффициенты (компоненты) линейной формы l(x) в базисе e ₁, e ₂, …, e_n. Тогда

l(x) = n l(ei) xi ∑ i = 1 = n l i xi ∑ i = 1 .

Преобразование коэффициентов линейной формы при переходе к новому базису. Пусть даны два базиса e ₁, e ₂, …, e_n и f ₁, f ₂, …, f_n, связанные матрицей перехода C = (c_ik) по формуле f = e · C Þ l' = C · l. Отметим, что коэффициенты линейной формы преобразуются так же, как базисные векторы — посредством матрицы C. В то время как координаты векторов преобразуются посредством матрицы C ^{− 1}. Ядро линейной формы (линейного функционала) — линейное пространство. Оно называется гиперплоскостью.

Билет 70 Билинейные формы

Пусть X — линейное пространство.Функция b (x, y), осуществляющая отображение X × X → R, называется билинейной формой, если она линейна по каждому аргументу, т.е. " x, y, z Î X и " α;, β; Î R

b (α x + β y, z) = α b (x, z) + β b (y, z);

 

b (x, α y + β z) = α b (x, y) + β b (x, z).

Билинейная форма называется симметричной, если " x, y Î X b (x, y) = b (y, x).Пусть e ₁, e ₂, …, e_n — базис в X_n. Тогда " x, y Î X_n

x = n xi ei ∑ i = 1 , y = n yj ej ∑ j = 1 .

Обозначим b_ij = b (e_i, e_j). Воспользовавшись линейностью b (x, y) по обоим аргументам, получим:

b (x, y) = b æ ç è n xi ei ∑ i = 1 , n yj ej ∑ j = 1 ö ÷ ø   = n xi yj b (ei, ej) ∑ i, j = 1 = n bij xi yj ∑ i, j = 1 .

Квадратная матрица n –го порядка B = (b_ij) называется матрицей билинейной формы.

Обозначив X и Y координатные столбцы векторов x и y, билинейную форму можно записать в виде:

b (x, y) = X T · B · Y.