Билет 67 Евклидово пространство. Ортагональные и ортонормированне системы векторов.

Линейное пространство E = {f, g, h, …} называется евклидовым, если

ставится в соответствие число, называемое скалярным произведением: . При этом, для выполняются аксиомы:

Имеет место

Неравенство Коши – Буняковского – Шварца:

{ }

По определению, длиной элемента называется: , а косинусом угла между двумя элементами: (В силу неравенства К – Б – Ш это определение корректно)

Отсюда легко получить, что Линейное пространство N называется нормированным, если N ставится

в соответствие число , называемое нормой элемента , иудовлетворяющее условиям:

Свойство (3) называется неравенством треугольника, а норма есть обобщение понятия ‘длина’.

оп ределение 1. Система векторов евклидова пространства { } называется ортогональной, если все ее элементы попарно ортогональны: Теорема 1. Ортогональная система неравных нулю векторов линейно независима.

{Предположим, система линейно зависима: и, для определенности, Умножим скалярно равенство на . Учитывая ортогональность системы, получим: }

Определение 2. Система векторов евклидова пространства { } называется ортонормированной, если она ортогональна и норма каждого элемента равна единице.

Из теоремы 1 сразу следует, что ортонормированная система элементов всегда линейно независима. Отсюда, в свою очередь, следует, что в n – мерном евклидовом пространстве ортонормированная система из n векторов образует базис (например, { i, j, k } в 3 ^х – мерном пространстве).Такая система называется ортонормированным базисом, а ее векторы – базисными ортами.

Координаты вектора в ортонормированном базисе можно легко вычислить с помощью скалярного произведения: если Действительно, умножая равенство на , получаем указанную формулу.