Преобразование матрицы билинейной формы при переходе к новому базису.
Пусть в Xn базисы e 1, e 2, …, en и f 1, f 2, …, fn связаны матрицей перехода C = (cik) по формуле
Обозначим B e и B f матрицы билинейной формы b (x, y) в базисах e 1, e 2, …, en и f 1, f 2, …, fn соответственно. Тогда
Справедливы следующие утверждения.
Билет 71 квадратичные формы. Квадратичной формой F, зависящей от n переменных x 1, x 2, …,x n называется функция вида
где aij = aji (i, j = 1, …,n) — вещественные числа. Симметричная матрица A = (aij) (i, j = 1, …,n) называется матрицей квадратичной формы F. Если переменные x 1, x 2, …, xn интерпретировать как координаты переменного вектора x в некотором ортонормированном базисе e 1, e 2, …, en n –мерного евклидова пространства, то матрица A есть матрица некоторого самосопряженного оператора ^ A в этом базисе. Тогда
Действительно, пусть x = i = 1 n ∑ xi ei и его образ y = ^ A x. Тогда i –я координата образа yi = (^ A x) i = j = 1 n ∑ aijxj. Подставляя это выражение в формулу для скалярного произведения в ортонормированном базисе, получим
Если рассматривать матрицу квадратичной формы как матрицу некоторого самосопряженного оператора, то, очевидно, ее вид будет зависеть от выбора базиса. Билет 72 Канонический вид квадратичной формы. Закон инерции квадратичных форм Базис, в котором квадратичная форма F имеет вид
называется каноническим базисом, а выражение (1) — каноническим видом квадратичной формы. У всякого самосопряженного оператора существует ортонормированный базис из собственных векторов f 1, f 2, …, fn, соответствующих собственным значениям λ1, λ2, …, λ n (среди которых могут быть равные). В этом базисе f 1, f 2, …, fn квадратичная форма относительно новых переменных x 1', x 2', …, xn ' имеет канонический вид. Замечание. Одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду многими способами, поэтому канонический вид определен неоднозначно. Теорема. Квадратичную форму F = i, j = 1 n ∑ aij xi xj можно привести к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования координат. Доказательство см. в книге О.В. Зиминой ``Линейная алгебра и аналитическая геометрия". Замечание. Ортогональное преобразование в двумерном пространстве (на плоскости) есть либо поворот V 2 на угол j, либо отражение относительно оси, либо композиция этих операторов. Рангом квадратичной формы называется ранг ее матрицы. Если Rg A = n, квадратичная форма называется невырожденной. Если Rg A < n, квадратичная форма называется вырожденной. Ранг квадратичной формы не меняется при невырожденном линейном преобразовании базиса и равен а) количеству отличных от нуля коэффициентов в любом каноническом виде квадратичной формы; б) количеству ненулевых собственных значений матрицы квадратичной формы с учетом их кратности.
|