Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Преобразование матрицы билинейной формы при переходе к новому базису.





Пусть в Xn базисы e 1, e 2, …, en и f 1, f 2, …, fn связаны матрицей перехода C = (cik) по формуле

fi =

n cikek
k = 1

.

Обозначим B e и B f матрицы билинейной формы b (x, y) в базисах e 1, e 2, …, en и f 1, f 2, …, fn соответственно. Тогда

  Bf = C T · Be · C.  

Справедливы следующие утверждения.

  • Матрица симметричной билинейной формы симметрична в любом базисе.
  • Если матрица билинейной формы симметрична в некотором базисе, то билинейная форма симметрична.

Билет 71 квадратичные формы.

Квадратичной формой F, зависящей от n переменных x 1, x 2, …,x n называется функция вида

F = a 11 x 12 + 2 a 12 x 1 x 2 + a 22 x 22 + … + ann xn 2 = i, j = 1 naij xi xj,

где aij = aji (i, j = 1, …,n) — вещественные числа.

Симметричная матрица A = (aij) (i, j = 1, …,n) называется матрицей квадратичной формы F.

Если переменные x 1, x 2, …, xn интерпретировать как координаты переменного вектора x в некотором ортонормированном базисе e 1, e 2, …, en n –мерного евклидова пространства, то матрица A есть матрица некоторого самосопряженного оператора ^ A в этом базисе. Тогда

i, j = 1 naij xi xj = (^ Ax, x).

Действительно, пусть x = i = 1 nxi ei и его образ y = ^ A x. Тогда i –я координата образа yi = (^ A x) i = j = 1 naijxj. Подставляя это выражение в формулу для скалярного произведения в ортонормированном базисе, получим

(^ Ax, x) = i = 1 nxi yi = i, j = 1 naij xi xj = F

Если рассматривать матрицу квадратичной формы как матрицу некоторого самосопряженного оператора, то, очевидно, ее вид будет зависеть от выбора базиса.

Билет 72 Канонический вид квадратичной формы. Закон инерции квадратичных форм

Базис, в котором квадратичная форма F имеет вид

 
F = i = 1 n ∑ λ i (xi ')2
(1)

называется каноническим базисом, а выражение (1) — каноническим видом квадратичной формы.

У всякого самосопряженного оператора существует ортонормированный базис из собственных векторов f 1, f 2, …, fn, соответствующих собственным значениям λ1, λ2, …, λ n (среди которых могут быть равные). В этом базисе f 1, f 2, …, fn квадратичная форма относительно новых переменных x 1', x 2', …, xn ' имеет канонический вид.

Замечание. Одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду многими способами, поэтому канонический вид определен неоднозначно.

Теорема. Квадратичную форму F = i, j = 1 naij xi xj можно привести к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования координат.

Доказательство см. в книге О.В. Зиминой ``Линейная алгебра и аналитическая геометрия".

Замечание. Ортогональное преобразование в двумерном пространстве (на плоскости) есть либо поворот V 2 на угол j, либо отражение относительно оси, либо композиция этих операторов.

Рангом квадратичной формы называется ранг ее матрицы.

Если Rg A = n, квадратичная форма называется невырожденной.

Если Rg A < n, квадратичная форма называется вырожденной.

Ранг квадратичной формы не меняется при невырожденном линейном преобразовании базиса и равен

а) количеству отличных от нуля коэффициентов в любом каноническом виде квадратичной формы;

б) количеству ненулевых собственных значений матрицы квадратичной формы с учетом их кратности.







Дата добавления: 2015-09-07; просмотров: 1454. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...


Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...


Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...


Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Гальванического элемента При контакте двух любых фаз на границе их раздела возникает двойной электрический слой (ДЭС), состоящий из равных по величине, но противоположных по знаку электрических зарядов...

Сущность, виды и функции маркетинга персонала Перснал-маркетинг является новым понятием. В мировой практике маркетинга и управления персоналом он выделился в отдельное направление лишь в начале 90-х гг.XX века...

Разработка товарной и ценовой стратегии фирмы на российском рынке хлебопродуктов В начале 1994 г. английская фирма МОНО совместно с бельгийской ПЮРАТОС приняла решение о начале совместного проекта на российском рынке. Эти фирмы ведут деятельность в сопредельных сферах производства хлебопродуктов. МОНО – крупнейший в Великобритании...

КОНСТРУКЦИЯ КОЛЕСНОЙ ПАРЫ ВАГОНА Тип колёсной пары определяется типом оси и диаметром колес. Согласно ГОСТ 4835-2006* устанавливаются типы колесных пар для грузовых вагонов с осями РУ1Ш и РВ2Ш и колесами диаметром по кругу катания 957 мм. Номинальный диаметр колеса – 950 мм...

Философские школы эпохи эллинизма (неоплатонизм, эпикуреизм, стоицизм, скептицизм). Эпоха эллинизма со времени походов Александра Македонского, в результате которых была образована гигантская империя от Индии на востоке до Греции и Македонии на западе...

Демографияда "Демографиялық жарылыс" дегеніміз не? Демография (грекше демос — халық) — халықтың құрылымын...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.01 сек.) русская версия | украинская версия