Преобразование матрицы билинейной формы при переходе к новому базису.

Пусть в X_n базисы e ₁, e ₂, …, e_n и f ₁, f ₂, …, f_n связаны матрицей перехода C = (c_ik) по формуле

fi = n cikek ∑ k = 1 .

Обозначим B _e и B _f матрицы билинейной формы b (x, y) в базисах e ₁, e ₂, …, e_n и f ₁, f ₂, …, f_n соответственно. Тогда

Bf = C T · Be · C.

Справедливы следующие утверждения.

• Матрица симметричной билинейной формы симметрична в любом базисе.
• Если матрица билинейной формы симметрична в некотором базисе, то билинейная форма симметрична.

Билет 71 квадратичные формы.

Квадратичной формой F, зависящей от n переменных x ₁, x ₂, …,x _n называется функция вида

F = a 11 x 12 + 2 a 12 x 1 x 2 + a 22 x 22 + … + ann xn 2 = i, j = 1 n ∑ aij xi xj,

где a_ij = a_ji (i, j = 1, …,n) — вещественные числа.

Симметричная матрица A = (a_ij) (i, j = 1, …,n) называется матрицей квадратичной формы F.

Если переменные x ₁, x ₂, …, x_n интерпретировать как координаты переменного вектора x в некотором ортонормированном базисе e ₁, e ₂, …, e_n n –мерного евклидова пространства, то матрица A есть матрица некоторого самосопряженного оператора ^ A в этом базисе. Тогда

i, j = 1 n ∑ aij xi xj = (^ Ax, x).

Действительно, пусть x = i = 1 n ∑ x_i e_i и его образ y = ^ A x. Тогда i –я координата образа y_i = (^ A x) _i = j = 1 n ∑ a_ijx_j. Подставляя это выражение в формулу для скалярного произведения в ортонормированном базисе, получим

(^ Ax, x) = i = 1 n ∑ xi yi = i, j = 1 n ∑ aij xi xj = F

Если рассматривать матрицу квадратичной формы как матрицу некоторого самосопряженного оператора, то, очевидно, ее вид будет зависеть от выбора базиса.

Билет 72 Канонический вид квадратичной формы. Закон инерции квадратичных форм

Базис, в котором квадратичная форма F имеет вид

F = i = 1 n ∑ λ i (xi ')2

(1)

называется каноническим базисом, а выражение (1) — каноническим видом квадратичной формы.

У всякого самосопряженного оператора существует ортонормированный базис из собственных векторов f ₁, f ₂, …, f_n, соответствующих собственным значениям λ₁, λ₂, …, λ _n (среди которых могут быть равные). В этом базисе f ₁, f ₂, …, f_n квадратичная форма относительно новых переменных x ₁', x ₂', …, x_n ' имеет канонический вид.

Замечание. Одна и та же квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду многими способами, поэтому канонический вид определен неоднозначно.

Теорема. Квадратичную форму F = i, j = 1 n ∑ a_ij x_i x_j можно привести к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования координат.

Доказательство см. в книге О.В. Зиминой ``Линейная алгебра и аналитическая геометрия".

Замечание. Ортогональное преобразование в двумерном пространстве (на плоскости) есть либо поворот V ₂ на угол j, либо отражение относительно оси, либо композиция этих операторов.

Рангом квадратичной формы называется ранг ее матрицы.

Если Rg A = n, квадратичная форма называется невырожденной.

Если Rg A < n, квадратичная форма называется вырожденной.

Ранг квадратичной формы не меняется при невырожденном линейном преобразовании базиса и равен

а) количеству отличных от нуля коэффициентов в любом каноническом виде квадратичной формы;

б) количеству ненулевых собственных значений матрицы квадратичной формы с учетом их кратности.