Билет 75 Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора , если существует такое число , что выполняется равенство: . Число называется собственным значением оператора , отвечающим собственному вектору .

Множество собственных значений линейного оператора называется его спектром.

Рассмотрим матрицу оператора в некотором базисе:

Тогда соотношение или (), эквивалентно следующему:

Это есть однородная система ого порядка, всегда имеющая нулевое решение . По правилу Крамера она будет иметь ненулевые решения тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю, т.е.

(1)

Итак, собственные числа являются корнями алгебраического уравнения ого порядка (1), которое называется характеристическими уравнением, а его левая часть - характеристическим многочленом.

Заметим, что собственные значения не зависят от выбора базиса, в котором записывается матрица оператора .

Пусть - собственное значение, т.е. решение характеристического уравнения (1). Тогда собственный вектор , отвечающий этому собственному значению, будет решением однородной системы

(2)

Так как множество решений линейной однородной системы является линейным пространством, то для нахождения собственных векторов , отвечающих собственному значению , достаточно найти базис этого пространства.