Рівняння стану ідеального газу

Рівняння стану ідеального газу має три еквівалентні форми запису (при цьому маса газу m =const!). Перша з них – узагальнення експериментально встановлених законів Бойля-Маріота, Гей-Люсака і Шарля, відоме як рівняння Клапейрона:

(2.1)

(стала різна для різних газів і для різної кількості одного газу).

Окремі випадки:

а) Т =сonst, рівняння ізотерми pV =const;

б) p =const, рівняння ізобари V/T =const;

в) V =const, рівняння ізохори p/T =const.

Закон Авогадро: при однакових тисках і однакових температурах в рівних об’ємах різних газів міститься однакове число молекул. Інше формулювання цього закону: при однакових тисках і однакових температурах молі різних газів займають однакові об’єми. Зокрема, при нормальних умовах () молярний об’єм ідеального газу

Виходячи з закону Авогадро маємо, що в рівнянні (2.1) для величина сталої однакова для всіх газів. Позначивши її через R, одержимо

(2.2)

Вираз (2.2) – рівняння стану для одного моля ідеального газу. R – універсальна газова стала. Числове значення для R знайдемо з рівняння (2.2) при нормальних умовах:

Домножимо праву і ліву частину рівняння (2.2) на кількість речовини (). Врахувавши, що молів займають об’єм у разів більший від об’єму одного моля одержимо

. (2.3)

Співвідношення (2.3) – рівняння Менделєєва-Клапейрона. Це – друга форма запису рівняння стану ідеального газу.

Визначаючи з рівняння масу “ m ” газу і розділюючи одержаний вираз на об’єм, одержимо формулу для розрахунку густини газу

. (2.4)

Введемо тепер сталу Больцмана

. (2.5)

Підставляючи у праву частину (2.5) значення R та , одержимо

Виразимо тепер на основі рівності (2.5) універсальну газову сталу через k та N_A і врахуємо, що (число молекул). Маємо з рівняння (2.3):

.

За означенням число молекул в одиниці об’єму – це концентрація молекул:

(2.6)

. З урахуванням цього попередня рівність набуде вигляду

(2.7)

Вираз (2.7) – третя форма запису рівняння стану ідеального газу (через концентрацію).

Відмітимо ще два факти, пов’язані з концентрацією: а) концентрація молекул ідеального газу за нормальних умов називається сталою Лошмідта; б) густину газу можна розраховувати як добуток концентрації і маси однієї молекули (це випливає з фізичного змісту величин та n).

У випадку суміші газів число всіх молекул , – число молекул і -го сорту. Тоді рівняння (2.7) з урахуванням (2.6) дає

,

– концентрація молекул і -го сорту. – парціальний тиск і -ї компоненти суміші, тобто тиск, який створював би даний (і -й) газ, якщо б він сам займав об’єм, рівний об’єму суміші при цій же температурі. Остаточно маємо

(2.8)

тобто тиск суміші газів рівний сумі парціальних тисків (закон Дальтона).

Щоб розрахувати молярну масу суміші газів, розпишемо ліву і праву частину співвідношення (2.8), виходячи з рівняння Менделєєва-Клапейрона:

– відповідно, маса та молярна маса і-ї компоненти суміші; – маса та молярна маса суміші газів. З останнього рівняння маємо

або . (2.9)