Применение дифференциала к приближенным вычислениям
Пусть нам известно значение функции y 0 = f (x 0) и ее производной y 0' = f '(x0) в точке x0. Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x. Как мы уже выяснили приращение функции Δ y можно представить в виде суммы Δ y = dy + α;·Δ x, т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δ x вторым слагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δ y ≈ dy или Δ y ≈ f '(x0)·Δ x. Т.к., по определению, Δ y = f (x) – f (x0), то f (x) – f (x0) ≈ f '(x0)·Δ x. Откуда f (x) ≈ f (x0) + f '(x0)·Δ x При выполнении приближенных вычислений определяют абсолютную (разность между точным и приближенным значениями) и относительную погрешности: Пример. y = x2 – 2 x. Найти приближенно, с помощью дифференциала, изменение y (т.е. Δ y), когда x изменяется от 3 до 3,01. Имеем Δ y ≈ dy = f '(x)·Δ x
|
.
f '(x)=2 x – 2, f '(3)=4, Δ x =0,01. Поэтому Δ y ≈ 4·0,01 = 0,04.
