Понятие дифференциала функции
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
Пусть функция y = f (x) дифференцируема на отрезке [ a; b ]. Производная функции в некоторой точке х 0 Î [ a; b ] определяется равенством
Итак, приращение дифференцируемой функции y = f (x) может быть представлено в виде суммы двух слагаемых, из которых первое (при f' (х) ≠ 0) линейно относительно D х и при D х ® 0 является бесконечно малой того же порядка малости, что D х. Поэтому говорят, что первое слагаемое является главной частью приращения, линейной относительно Δ x. Второе слагаемое – бесконечно малая величина более высокого порядка, чем Δ x. Дифференциалом функции f (x) в точке х называется главная линейная часть приращения функции. Обозначается d y или df (x). Из определения следует, что dy = f ¢(x)D x. Таким образом, если функция y = f (x) имеет производную f' (x) в точке x, то произведение производной f ' (x) на приращение Δ x аргумента называют дифференциалом функции. Найдем дифференциал функции y = x. В этом случае y ' = (x)' = 1 и, следовательно, dy = dx = Δ x. Значит, дифференциал dx независимой переменной x совпадает с ее приращением Δ x. Поэтому можем записать: dy = f ¢(x) dx. Можно также записать: Следовательно, производную f '(x) можно рассматривать как отношение дифференциала функции к дифференциалу независимой переменной. Замечание. Из дифференцируемости функции в точке следует существование дифференциала в этой точке. Справедливо и обратное утверждение: для функции y = f (x) существует дифференциал dy=A·dx в некоторой точке x, то эта функция имеет производную в точке x и f '(x)= А. Таким образом, между дифференцируемостью функции и существованием дифференциала имеется очень тесная связь, оба понятия равносильны.
|
. Тогда по свойству предела можно записать: 
, где a ® 0, при D х ® 0 т.е. является бесконечно малой, 
остается постоянной величиной при D х ® 0. Следовательно:
.
.
