Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций




 

Следует отметить, что при разложении функции в ряд применение формулы Маклорена предпочтительнее, чем применение непосредственно формулы Тейлора, т.к. вычисление значений производных в нуле проще, чем в какой-либо другой точке, естественно, при условии, что эти производные существуют.

Применение формулы Тейлора для разложения функций в степенной ряд широко используется и имеет огромное значение при проведении различных математических расчетов. Непосредственное вычисление интегралов некоторых функций может быть сопряжено со значительными трудностями, а замена функции степенным рядом позволяет значительно упростить задачу. Нахождение значений тригонометрических, обратных тригонометрических, логарифмических функций также может быть сведено к нахождению значений соответствующих многочленов.

Если при разложении в ряд взять достаточное количество слагаемых, то значение функции может быть найдено с любой заданной точностью. Практически можно сказать, что для нахождения значения любой функции с разумной степенью точности (предполагается, что точность, превышающая 10-20 знаков после десятичной точки, необходима очень редко) достаточно 4-10 членов разложения в ряд.

Применение принципа разложения в ряд позволяет производить вычисления на ЭВМ в режиме реального времени, что немаловажно при решении конкретных технических задач.

Функция f(x) = ex.Находим: f(x) = ex, f(0) = 1, f¢(x) = ex, f¢(0) = 1,…, f(n)(x) = ex, f(n)(0) = 1.

Тогда:

Пример: Найдем значение числа е. В полученной выше формуле положим х = 1.

Для 8 членов разложения: e = 2,71827876984127003.

Для 10 членов разложения: e = 2,71828180114638451

Для 100 членов разложения: e = 2,71828182845904553

Как видно, для достижения точности, достаточной для решения большинства практических задач, можно ограничиться 6-7 – ю членами ряда.

Функция f(x) = sinx. Получаем f(x) = sinx; f(0) = 0, f¢(x) = cosx = sin(x + p/2); f¢(0) = 1;

f¢¢(x) = –sinx = sin(x + 2p/2); f¢¢(0) = 0; f¢¢¢(x) = –cosx = sin(x + 3p/2); f¢¢¢(0)=–1;

………………………………………… f(n)(x) = sin(x + pn/2); f(n)(0) = sin(pn/2);

f(n+1)(x) = sin(x + (n + 1)p/2); f(n+1)( ) = sin( + (n + 1)p/2);

 

Функция f(x) = cosx. Для функции cosx, применив аналогичные преобразования, получим:

 

Функция f(x) = (1 + x)a (a - действительное число).

……….

Тогда:

Если в полученной формуле принять a = n, где n – натуральное число и f(n+1)(x)=0, то Rn+1 = 0, тогда

Получилась формула, известная как бином Ньютона.

Функция f(x) = ln(1 + x). Получаем: f(x) = ln(1 + x); f(0) = 0; (x) = ;

Таким образом:

,

 

Полученная формула позволяет находить значения любых логарифмов (не только натуральных) с любой степенью точности.

Разложение различных функций по формулам Тейлора и Маклорена приводится в специальных таблицах, однако, формула Тейлора настолько удобна, что для подавляющего большинства функций разложение может быть легко найдено непосредственно.

В дальнейшем будут рассмотрены различные применения формулы Тейлора не только к приближенным представлениям функций, но и к решению дифференциальных уравнений и к вычислению интегралов.







Дата добавления: 2015-09-07; просмотров: 257. Нарушение авторских прав


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2019 год . (0.003 сек.) русская версия | украинская версия