Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций

 

Следует отметить, что при разложении функции в ряд применение формулы Маклорена предпочтительнее, чем применение непосредственно формулы Тейлора, т.к. вычисление значений производных в нуле проще, чем в какой-либо другой точке, естественно, при условии, что эти производные существуют.

Применение формулы Тейлора для разложения функций в степенной ряд широко используется и имеет огромное значение при проведении различных математических расчетов. Непосредственное вычисление интегралов некоторых функций может быть сопряжено со значительными трудностями, а замена функции степенным рядом позволяет значительно упростить задачу. Нахождение значений тригонометрических, обратных тригонометрических, логарифмических функций также может быть сведено к нахождению значений соответствующих многочленов.

Если при разложении в ряд взять достаточное количество слагаемых, то значение функции может быть найдено с любой заданной точностью. Практически можно сказать, что для нахождения значения любой функции с разумной степенью точности (предполагается, что точность, превышающая 10-20 знаков после десятичной точки, необходима очень редко) достаточно 4-10 членов разложения в ряд.

Применение принципа разложения в ряд позволяет производить вычисления на ЭВМ в режиме реального времени, что немаловажно при решении конкретных технических задач.

Функция f (x) = e ^x. Находим: f (x) = e ^x, f (0) = 1, f ¢(x) = e ^x, f ¢(0) = 1,…, f ^{( n )}(x) = e ^x, f ^{( n )}(0) = 1.

Тогда:

Пример: Найдем значение числа е. В полученной выше формуле положим х = 1.

Для 8 членов разложения: e = 2,71827876984127003.

Для 10 членов разложения: e = 2,71828180114638451

Для 100 членов разложения: e = 2,71828182845904553

Как видно, для достижения точности, достаточной для решения большинства практических задач, можно ограничиться 6-7 – ю членами ряда.

Функция f (x) = sin x. Получаем f (x) = sin x; f (0) = 0, f ¢(x) = cos x = sin(x + p/2); f ¢(0) = 1;

f ¢¢(x) = –sin x = sin(x + 2p/2); f ¢¢(0) = 0; f ¢¢¢(x) = –cos x = sin(x + 3p/2); f ¢¢¢(0)=–1;

………………………………………… f ^{( n )}(x) = sin(x + p n /2); f ^{( n )}(0) = sin(p n /2);

f ^{( n +1)}(x) = sin(x + (n + 1)p/2); f ^{( n +1)}() = sin( + (n + 1)p/2);

 

Функция f (x) = cos x. Для функции cos x, применив аналогичные преобразования, получим:

 

Функция f (x) = (1 + x)^a (a - действительное число).

……….

Тогда:

Если в полученной формуле принять a = n, где n – натуральное число и f ^{( n +1)}(x)=0, то R_{n +1} = 0, тогда

Получилась формула, известная как бином Ньютона.

Функция f (x) = ln(1 + x). Получаем: f (x) = ln(1 + x); f (0) = 0; f¢;(x) = ;

Таким образом:

,

 

Полученная формула позволяет находить значения любых логарифмов (не только натуральных) с любой степенью точности.

Разложение различных функций по формулам Тейлора и Маклорена приводится в специальных таблицах, однако, формула Тейлора настолько удобна, что для подавляющего большинства функций разложение может быть легко найдено непосредственно.

В дальнейшем будут рассмотрены различные применения формулы Тейлора не только к приближенным представлениям функций, но и к решению дифференциальных уравнений и к вычислению интегралов.