Геометрический смысл дифференциала
Рассмотрим функцию y = f (x) и соответствующую ей кривую. Возьмем на кривой произвольную точку M (x; y), проведем касательную к кривой в этой точке и обозначим через α; угол, который касательная образует с положительным направлением оси Ox. Дадим независимой переменной x приращение Δ x, тогда функция получит приращение Δ y = NM 1. Значениям x +Δ x и y + Δ y на кривой y = f (x) будет соответствовать точка M 1(x +Δ x; y +Δ y). Из Δ MNT находим NT = MN ·tg α;. Т.к. tg α; = f' (x), а MN = Δ x, то NT = f '(x)·Δ x. Но, по определению дифференциала, dy = f '(x)·Δ x, поэтому dy = NT. Таким образом, дифференциал функции f (x), соответствующей данным значениям x и Δ x, равен приращению ординаты касательной к кривой y = f (x) в данной точке х.
|
