Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Линейные операторы




Линейным оператором в пространстве называется отображение пространства в себя, обладающее свойством линейности, т.е.

1. ; 2. .

Пусть – базис пространства . Разложим векторы по базису: . Матрица , столбцы которой состоят из координат векторов , называется матрицей оператора в базисе . Координаты вектора выражаются через координаты соотношением:

.

Пусть и − вектор столбцы из координат векторов и в базисе . Последнее равенство в матричной форме имеет вид . Координата определяется равенством .

Задача 4(1).Выяснить, является ли преобразование линейным и найти его матрицу.

Решение. Легко проверить, что , , т.е. оператор линейный. Найдем координаты образов базисных векторов .

Следовательно, является матрицей оператора .

Задача 4(2).Выяснить, является ли преобразование линейным.

Решение.Легко проверить, что , т.е. оператор не является линейным.

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Выяснить, какие из заданных преобразований являются линейными и найти их матрицы.

4.1. . 4.2. .

4.3. . 4.4. .

Задача 5(1).Найти матрицу оператора проецирования пространства V3 на плоскость параллельно оси .

Решение.Базисные векторы переходят при проецировании в себя, вектор переходит в (нулевой вектор). Матрица оператора имеет вид:

.

Задача 5(2).Найти матрицу оператора поворотапространства вокруг оси на угол .

Решение.Вектор переходит в себя, плоскость поворачивается на угол . Найдем координаты векторов – образов базисных векторов при повороте на угол . Из рисунка видно, что проекции вектора равны , а проекции вектора равны , т.е. ; .

Следовательно, матрица оператора поворотаплоскости на угол имеет вид: , а матрица оператора поворотапространства вокруг оси на угол имеет следующий вид:

.

Задача 5(3).Найти матрицу оператора проецирования пространства на плоскость параллельно прямой .

Решение.Обозначим оператор проецирования символом и определим последовательно координаты векторов .

Параметрическое уравнение прямой с направляющим вектором , проходящей через точку (конец вектора ), имеет вид: .

Найдем точку пересечения этой прямой с плоскостью .

Подставив координаты точек прямой в уравнение плоскости, получим, что , т.е. . Аналогично получим, что , т.е. .

Задача 5(4).Найти матрицу оператора симметрии пространства относительно прямой .

Решение. Проекция точки на заданную прямую лежит точно посередине между точкой и симметричной ей точкой , поэтому координаты точки равны полусумме координат точек и . Плоскость, проходящая через точку перпендикулярно прямой , задается уравнением . Координаты точки найдем из системы уравнений .

Определим координаты точки .

. Следовательно .

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Найти матрицы следующих линейных преобразований пространства :

5.1.Проецирования пространства на ось параллельно плоскости .

5.2.Симметрии пространства относительно плоскости .

5.3.Симметрии пространства относительно оси .

5.4.Симметрии пространства относительно начала координат.

5.5.Поворотпространства вокруг прямой на угол 120°.

5.6.Проецирования пространства на прямую параллельно плоскости .

5.7. Ортогонального проецирования пространства на плоскость .

5.8. Ортогонального проецирования пространства на прямую .

5.9.Симметрии пространства относительно плоскости .

5.10. Симметрии пространства относительно прямой .

Задача 6.Заданы матрица оператора и координаты вектора . Найти координаты вектора .

Решение.Координаты вектора определяются с помощью умножения матрицы оператора на столбец из координат вектора , т.е. .

.

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Заданы матрица оператора и координаты вектора . Найти координаты вектора .

6.1. = . 6.2. ; .

6.3. = . 6.4. ; .

Задача 7(1).Выбрав подходящий базис в функциональном пространстве , найти матрицу оператора дифференцирования в этом базисе .

Решение. Выберем в базис . Так как , то матрица оператора дифференцирования в этом базисе имеет вид:

(мы ограничились, для простоты, случаем ).

Задача 7(2).Выбрав подходящий базис в функциональном пространстве , найти матрицу оператора сдвига аргумента в этом базисе ( ).

Решение.Выберем в базис . Применим оператор к базисным векторам (функциям). Получим:

.

Следовательно, матрица оператора сдвига аргумента на пространстве в базисе имеет следующий вид: .

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Выбрав подходящие базисы в функциональных пространствах, найти матрицы указанных линейных операторов.

7.1. Оператора дифференцирования на пространстве .

7.2. Оператора интегрирования на пространстве .

7.3.Оператора дифференцирования на пространстве .

7.4.Оператора сдвига аргумента на пространстве .

7.5. Оператора сдвига аргумента на пространстве .

Ответы

1.1. , – базис. 1.2. , – базис.

1.3. , – базис. 1.4. , – базис.

В задачах 2.1.-2.4. в ответах записаны матрицы, столбцы которых образуют ФСР.

2.1. . 2.2. . 2.3. . 2.4. .

3.1. . 3.2. .

3.3. . 3.4. .

4.1. .4.3. .

В задачах 4.2. и 4.4. преобразования не являются линейными.

5.1. . 5.2. . 5.3. . 5.4. .

5.5. . 5.6. . 5.7. .

5.8. . 5.9. 5.10.

6.1. . 6.2. . 6.3. . 6.4. .

7.1. . 7.2. . 7.3. .

7.4.. . 7.5. .







Дата добавления: 2015-09-07; просмотров: 4700. Нарушение авторских прав


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2020 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия