Линейным оператором в пространстве
называется отображение
пространства
в себя, обладающее свойством линейности, т.е.
1.
; 2.
.
Пусть
– базис пространства
. Разложим векторы
по базису:
. Матрица
, столбцы которой состоят из координат векторов
, называется матрицей оператора
в базисе
. Координаты вектора
выражаются через координаты
соотношением:
.
Пусть
и
− вектор столбцы из координат векторов
и
в базисе
. Последнее равенство в матричной форме имеет вид
. Координата
определяется равенством
.
Задача 4(1). Выяснить, является ли преобразование
линейным и найти его матрицу.
Решение. Легко проверить, что
,
, т.е. оператор
линейный. Найдем координаты образов базисных векторов
.
Следовательно,
является матрицей оператора
.
Задача 4(2). Выяснить, является ли преобразование
линейным.
Решение. Легко проверить, что
, т.е. оператор
не является линейным.
З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я
Выяснить, какие из заданных преобразований
являются линейными и найти их матрицы.
4.1.
. 4.2.
.
4.3.
. 4.4.
.
Задача 5(1). Найти матрицу
оператора проецирования пространства V3 на плоскость
параллельно оси
.
Решение. Базисные векторы
переходят при проецировании в себя, вектор
переходит в
(нулевой вектор). Матрица оператора имеет вид:
.
Задача 5(2). Найти матрицу
оператора поворотапространства
вокруг оси
на угол
.
Решение. Вектор
переходит в себя, плоскость
поворачивается на угол
. Найдем координаты векторов
– образов базисных векторов
при повороте на угол
. Из рисунка видно, что проекции вектора
равны
, а проекции вектора
равны
, т.е.
;
.
Следовательно, матрица
оператора поворотаплоскости
на угол
имеет вид:
, а матрица оператора поворотапространства вокруг оси
на угол
имеет следующий вид:
.
Задача 5(3). Найти матрицу
оператора проецирования пространства
на плоскость
параллельно прямой
.
Решение. Обозначим оператор проецирования символом
и определим последовательно координаты векторов
.
Параметрическое уравнение прямой с направляющим вектором
, проходящей через точку
(конец вектора
), имеет вид:
.
Найдем точку пересечения этой прямой с плоскостью
.
Подставив координаты точек прямой в уравнение плоскости, получим, что
, т.е.
. Аналогично получим, что
, т.е.
.
Задача 5(4). Найти матрицу
оператора симметрии пространства
относительно прямой
.
Решение. Проекция
точки
на заданную прямую лежит точно посередине между точкой
и симметричной ей точкой
, поэтому координаты точки
равны полусумме координат точек
и
. Плоскость, проходящая через точку
перпендикулярно прямой
, задается уравнением
. Координаты точки
найдем из системы уравнений
.
Определим координаты точки
.
. Следовательно
.
З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я
Найти матрицы следующих линейных преобразований пространства
:
5.1. Проецирования пространства на ось
параллельно плоскости
.
5.2. Симметрии пространства относительно плоскости
.
5.3. Симметрии пространства относительно оси
.
5.4. Симметрии пространства относительно начала координат.
5.5. Поворотпространства вокруг прямой
на угол 120°.
5.6. Проецирования пространства на прямую
параллельно плоскости
.
5.7. Ортогонального проецирования пространства на плоскость
.
5.8. Ортогонального проецирования пространства на прямую
.
5.9. Симметрии пространства относительно плоскости
.
5.10. Симметрии пространства относительно прямой
.
Задача 6. Заданы матрица
оператора
и координаты
вектора
. Найти координаты
вектора
.
Решение. Координаты
вектора
определяются с помощью умножения матрицы
оператора
на столбец
из координат вектора
, т.е.
.
.
З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я
Заданы матрица
оператора
и координаты
вектора
. Найти координаты
вектора
.
6.1.
=
. 6.2.
;
.
6.3.
=
. 6.4.
;
.
Задача 7(1). Выбрав подходящий базис в функциональном пространстве
, найти матрицу оператора
дифференцирования в этом базисе
.
Решение. Выберем в
базис
. Так как
, то матрица
оператора дифференцирования в этом базисе имеет вид:
(мы ограничились, для простоты, случаем
).
Задача 7(2). Выбрав подходящий базис в функциональном пространстве
, найти матрицу оператора
сдвига аргумента в этом базисе (
).
Решение. Выберем в
базис
. Применим оператор
к базисным векторам (функциям). Получим:
.
Следовательно, матрица
оператора сдвига аргумента на пространстве
в базисе
имеет следующий вид:
.
З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я
Выбрав подходящие базисы в функциональных пространствах, найти матрицы указанных линейных операторов.
7.1. Оператора
дифференцирования на пространстве
.
7.2. Оператора интегрирования
на пространстве
.
7.3. Оператора
дифференцирования на пространстве
.
7.4. Оператора сдвига аргумента
на пространстве
.
7.5. Оператора сдвига аргумента
на пространстве
.
Ответы
1.1.
,
– базис. 1.2.
,
– базис.
1.3.
,
– базис. 1.4.
,
– базис.
В задачах 2.1.-2.4. в ответах записаны матрицы, столбцы которых образуют ФСР.
2.1.
. 2.2.
. 2.3.
. 2.4.
.
3.1.
. 3.2.
.
3.3.
. 3.4.
.
4.1.
. 4.3.
.
В задачах 4.2. и 4.4. преобразования
не являются линейными.
5.1.
. 5.2.
. 5.3.
. 5.4.
.
5.5.
. 5.6.
. 5.7.
.
5.8.
. 5.9.
5.10. 
6.1.
. 6.2.
. 6.3.
. 6.4.
.
7.1.
. 7.2.
. 7.3.
.
7.4..
. 7.5.
.