Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Вычисление определителей




Метод разложения определителя по столбцу. Пусть – определитель матрицы, полученной из матрицы вычеркиванием строки c номером и столбца с номером . Алгебраическим дополнением элемента квадратной матрицы называется число . Формула разложения определителя по элементам столбца имеет следующий вид: .

Применение этого метода наиболее эффективно, если сначала, с помощью линейных преобразований строк матрицы, не меняющих определителя (см. свойство 6), обратить в ноль почти все элементы некоторого столбца, а затем применить формулу разложения по этому столбцу. Вычисление определителя значительно облегчается, если с помощью указанных выше преобразований удается привести матрицу к треугольному или блочно треугольному виду.

Задача 4(1).Вычислить определитель .

Решение. .

Задача 4(2).Вычислить определитель .

Решение. .

Задача 4(3).Вычислить определитель .

Решение. .

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Используя различные методы, вычислить определители.

4.1. .4.2. .

4.3. .4.4. .

Определители порядка

Пусть - квадратная матрица порядка , т.е. таблица из чисел . Числа называются элементами матрицы , индексы указывают номер строки и столбца элемента .

Рассмотрим произведение элементов, лежащих по одному в каждой строчке и каждом столбце и запишем его в виде . Индексы образуют перестановку чисел . С помощью инверсий (перестановок пары чисел) эта перестановка может быть приведена к . Произведение снабдим знаком «+», если четное, и знаком «–», если нечетное.

Определитель матрицы равен алгебраической сумме всех произведений вида , снабженных указанным выше знаком.

Определитель матрицы задается формулой

, где сумма берется по всем перестановкам чисел .

Для определителя порядка выполняются те же свойства (1 – 6), что и для определителей третьего порядка. Для вычисления определителя - го порядка применяются описанные ранее методы разложения по строке (столбцу) и линейные преобразования строк (столбцов).

Задача 5(1).Определить четность перестановки.

Решение.Для определения четности перестановки вычислим в ней число «беспорядков», совпадающее по четности с числом инверсий. «Беспорядком» называется такое расположение чисел в последовательности , при котором большее число стоит впереди меньшего. Число 3 образует один «беспорядок» (стоит перед числом 2), число 5 образует 2 «беспорядка» (стоит перед числами 2 и 4). Перестановка нечетная, так как число «беспорядков» равно 3.

Задача 5(2).Определить четность перестановки.

Решение.В последовательности каждое число образует «беспорядок», следовательно, общее число «беспорядков» равно .

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Определить четность перестановок.

5.1. .5.2. .5.3. . 5.4. .

Задача 6(1).Выяснить, входит ли произведение в определитель пятого порядка и с каким знаком.

Решение.Расположим сомножители в порядке возрастания первых индексов. Тогда вторые индексы образуют перестановку . Так как , то произведение входит со знаком минус.

Задача 6(2).Выяснить, входит ли произведение в определитель -го порядка и с каким знаком.

Решение.Первые индексы упорядочены, вторые образуют перестановку с числом беспорядков . Знак .

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Выяснить, какие из приведенных ниже произведений входят в определители соответствующих порядков и с какими знаками.

6.1. .6.2. .

6.3. .6.4. .

Задача 7(1).Вычислить определитель .

Решение.Вычитая из второй, третьей и четвертой строк первую, умноженную на 2, 3 и 4 соответственно, получим:

.

Задача 7(2).Вычислить определитель .

Решение.Такой определитель называется определителем Вандермонда и обозначается . Он является многочленом шестой степени от переменных и , который обращается в нуль при равенстве любых двух из них. Это значит, что делится на все разности этих переменных и, следовательно, на их произведение . Так как степень этого произведения равна 6, то , где - некоторая константа. Сравнивая коэффициенты при одночлене (произведение элементов главной диагонали) в каждой из частей последнего равенства, получим , или .

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Используя различные методы, вычислить определители.

7.1. . 7.2. . 7.3. . 7.4. .

Задача 8(1).Доказать линейную независимость системы функций .

Решение.Для доказательства линейной независимости системы функций достаточно показать, что определитель Вронского , где

.

Для нашей системы функций.

Задача 8(2).Доказать линейную независимость системы функций .

Решение. , если попарно различны (см. задачу 7(2)).

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Доказать линейную независимость следующих систем функций.

8.1. .8.2. . 8.3. .

 

Ответы

1.1. . 1.2. 1. 1.3. 0. 1.4. . 1.5. . 1.6. 1. 1.7. .

2.1. 0. 2.2. 2. 2.3. .

2.4. .

4.1. . 4.2. .

4.3. . 4.4. .

В задачах 5.1.-5.4. в ответах приведено число «беспорядков»: 5.1. 2. 5.2.10. 5.36. 5.4 .

6.1.Плюс. 6.2.Не является членом определителя (среди первых индексов нет 1, и дважды встречается число 2). 6.3.Минус. 6.4. .

7.1.30. 7.2.24. 7.3. . 7.4. .







Дата добавления: 2015-09-07; просмотров: 3147. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2021 год . (0.006 сек.) русская версия | украинская версия