Умножение матриц

Произведение матриц и определено, если число столбцов матрицы совпадает с числом строк матрицы . Матричный элемент матрицы вычисляется по формуле: , т.е. равен произведению -ой строки матрицы на -ый столбец матрицы . У матрицы число строк такое же, как у матрицы , а число столбцов такое же, как у матрицы . Если размеры матриц и и соответственно, то матрица имеет размер . Умножение матриц не коммутативно, т.е., как правило, , поэтому говорят об умножении матрицы слева (или справа) на матрицу . При умножении матриц роль единицы играют квадратные матрицы, у которых на главной диагонали стоят 1, а на остальных местах 0. Такие матрицы называются единичными и обозначаются символом .

Задача 1(1). Вычислить произведение матриц .

Решение. Используя формулу вычисления элемента матрицы произведения, получаем матрицу .

Задача 1(2). Вычислить произведение матриц .

Решение. .

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Вычислить произведения матриц.

1.1. . 1.2. .

1.3. . 1.4. .

Задача 2(1). Найти значение многочлена от матрицы .

Решение.

.

Задача 2(2). Найти значение многочлена от матрицы .

Решение. Надо вычислить матрицу , где . Так как , , то .

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Найти значение многочлена от матрицы .

2.1 . 2.2. .

2.3. . 2.4. .

Задача 3(1). Для матрицы найти .

Решение. ,т.е. , если , и , если .

Задача 3(2). Для матрицы найти .

Решение. . Предположим, что . Формула верна для , что и требовалось доказать.

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Для заданной матрицы найти .

3.1. . 3.2. . 3.3. . 3.4. .

Задача 4(1). Найти все матрицы, перестановочные с матрицей .

Решение. Матрицы, перестановочные с матрицей , определяются равенством . Пусть . Матричное уравнение сводится к системе уравнений . Таким образом , где - произвольные числа.

Задача 4(2). Найти все матрицы, перестановочные с матрицей .

Решение. Обозначим символами матричные элементы матрицы , и приравняем элементы, стоящие на одинаковых местах в матрицах и . Получим систему из девяти уравнений.

при .

Следовательно, , где произвольные числа.

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Найти все матрицы, перестановочные с матрицей ().

4.1. . 4.2. . 4.3. . 4.4. .