Обратная матрица. Матрица называется левой обратной к A, если , аналогично, называется правой обратной, если

Матрица называется левой обратной к A, если , аналогично, называется правой обратной, если . Если существуют левая и правая обратные к матрицы, то они совпадают, т.е. . Эта матрица называется обратной, и обозначается . Для того, чтобы матрица имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной, т.е. .

Если , то для вычисления можно использовать следующий алгоритм:

1. Строим матрицу , присоединенную к ( - алгебраические дополнения к в ).

2. Транспонируем полученную матрицу. Получаем матрицу .

3. Обратная матрица вычисляется по формуле .

Задача 5(1). Найти матрицу, обратную матрице .

Решение. .

Задача 5(2). Найти матрицу, обратную матрице .

Решение.

Задача 5(3). Найти матрицу, обратную матрице .

Решение. Найдем обратную матрицу методом линейных преобразований строк матрицы . С помощью указанных преобразований приведем матрицу к виду . Тогда матрица .

.

Таким образом .

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Найти обратные матрицы.

5.1. . 5.2. . 5.3. .

5.4. . 5.5. .

Задача 6. Используя разложение матрицы , вычислить .

Решение. Так как , то , где , . Легко проверить, что

.

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Используя указанные разложения матрицы А, вычислить .

6.1. .

6.2. .