Однородные системы. СЛАУ называется однородной.

СЛАУ называется однородной.

Однородная система всегда совместна, так как она имеет тривиальное (нулевое) решение. Однородная СЛАУ имеет нетривиальные решения, если ранг матрицы меньше числа неизвестных.

Выберем линейно независимых столбцов матрицы , где . Соответствующие этим столбцам переменные называются базисными, а остальные переменные - свободными. Каждое решение системы однозначно задается набором свободных переменных. Множество всех решений однородной системы образует подпространство размерности . Базис пространства , состоящий из линейно независимых решений, называется фундаментальной системой решений (ФСР). Для получения ФСР достаточно задать линейно независимых наборов свободных переменных и найти соответствующие им решения системы. Пусть - ФСР. Общее решение однородной системы представимо в виде: .

Задача 2. Найти ФСР и общее решение системы уравнений

.

Решение. Приведем матрицу с помощью линейных преобразований строк к ступенчато треугольному виду.

.

Ранг системы равен двум. Пусть – базисные, а – свободные переменные. Перенеся свободные переменные в правую часть уравнений, запишем систему в следующем виде: .

ФСР зададим следующими наборами свободных переменных: ; ; .

Общее решение .

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Найти ФСР и общее решение систем уравнений.

2.1. . 2.2. .

2.3. . 2.4. .

2.5. .