Неоднородные системы

СЛАУ называется неоднородной, если столбец свободных членов отличен от нуля. Система совместна, если ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы, т.е. . Общее решение представимо в виде: , где - частное решение неоднородной системы, а - общее решение соответствующей однородной системы.

Задача 3. Найти общее решение системы уравнений .

Решение. Расширенную матрицу системы с помощью линейных преобразований строк приведем к ступенчато-треугольному виду.

.

Система совместна, так как . ФСР однородной СЛАУ

, частное решение неоднородной СЛАУ .

Общее решение можно записать в виде: .

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Найти общее решение систем уравнений.

3.1. . 3.2. .

3.3. . 3.4. .

Задача 4. Решить систему при всех значениях параметра .

Решение. Расширенную матрицу системы с помощью линейных преобразований строк приведем к ступенчато-треугольному виду.

.

При . Общее решение имеет вид .

Если , то расширенная матрица системы приводится к виду

.

При , т.е. система несовместна.

При единственное решение .

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Решить систему при всех значениях параметра .

4.1. . 4.2. .

Задача 5. Найти точку пересечения прямых и , если

.

Решение. Точка пересечения прямых представима в виде и . Таким образом, для того, чтобы найти точку , надо решить линейную относительно систему .

Система имеет единственное решение, если векторы и не коллинеарны и вектор , т.е. ранги основной и расширенной матриц системы равны 2. Если ранг расширенной матрицы равен 3, то прямые скрещиваются, если ранг основной матрицы 1, а расширенной 2, прямые параллельны, и если оба ранга равны 1, прямые совпадают.

Для нашей задачи система принимает вид: . В результате элементарных преобразований получаем: . Таким образом, прямые пересекаются в одной точке с координатами .

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Найти точку пересечения прямых и .

5.1. . 5.2. . 5.3. .

5.4. . 5.5. .

Ответы

1.1. . 1.2. . 1.3. . 1.4. .

В задачах 2.1.-2.5. в ответах приводится одна из ФСР.

2.1. . 2.2. . 2.3. .

2.4. . 2.5. .

3.1. . 3.2. . 3.3. . 3.4. .

4.1. При , при общее решение , при система несовместна. 4.2. При , при система несовместна.

5.1. . 5.2. . 5.3. Прямые совпадают. 5.4. Нет решения. Прямые скрещиваются. 5.5. Нет решения. Прямые параллельны.