Основные свойства определителя

1. , где – матрица, транспонированная к матрице .

Из этого равенства следует, что любое утверждение, верное для столбцов определителя, верно и для строк определителя и обратно.

2. При умножении произвольной строки определителя на число, определитель умножается на это число.

3. Если строка определителя представлена в виде суммы двух строк, то определитель равен сумме двух определителей, у каждого из которых на месте данной строки стоит одно из слагаемых, а остальные строки прежние.

4. При перестановке двух строк определитель меняет знак.

5. Если строки определителя линейно зависимы, то определитель равен нулю.

6. Определитель не изменится, если к строке прибавить линейную комбинацию других строк определителя.

Задача 3(1). Доказать, что определитель равен нулю.

Решение. ,так как первый и третий столбцы пропорциональны.

Задача 3(2). Доказать, что определитель равен нулю, если - корни уравнения .

Решение. По формулам Виета коэффициент при равен сумме корней уравнения с обратным знаком, т.е. . Следовательно, строки определителя линейно зависимы, так как их сумма равна нулю.

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Пользуясь свойствами определителя, доказать, что следующие определители равны нулю.

3.1. . 3.2 .

3.3. . 3.4. .