Базис, координаты, размерность

Упорядоченная система векторов образует базис пространства , если каждый вектор однозначно представим в виде: .

Последнее равенство называется разложением вектора по базису, а коэффициенты разложения - координатами вектора в этом базисе. Размерность пространства (обозначается ) равна числу базисных векторов. Каждый вектор однозначно задается своими координатами в фиксированном базисе. Координаты векторов обладают свойством линейности, т.е. при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

Задача 7. В пространстве всех матриц размера выбрать некоторый базис и определить координаты векторов в этом базисе.

Решение. Каждая матрица однозначно задается матричными элементами . Базис, в котором матричные элементы являются координатами, состоит из матриц , у которых на месте стоит единица, а на остальных местах нули.

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

В каждом из указанных пространств (подпространств) выбрать некоторый базис и определить координаты векторов в этом базисе.

7.1. Пространства геометрических векторов , , .

7.2. Пространство .

7.3. Множество многочленов степени не выше п.

7.4. Множество всех векторов пространства , у которых координаты удовлетворяют уравнению .

7.5. Множество всех векторов пространства , у которых координаты удовлетворяют уравнению .

7.6. Множество всех векторов пространства , у которых координаты с четными номерами равны нулю.

7.7. Множество всех векторов пространства , у которых координаты с четными номерами равны между собой.

7.8. Множество всех векторов пространства , у которых координаты удовлетворяют уравнению .

7.9. Множество четных многочленов степени не выше п.

7.10. Множество нечетных многочленов степени не выше п.

7.11. Множество симметричных квадратных матриц порядка .

7.12. Множество кососимметричных квадратных матриц порядка .

Линейной оболочкой системы векторов называется множество всех линейных комбинаций этих векторов. Линейная оболочка (обозначается ) является минимальным подпространством, содержащим систему векторов . Размерность равна рангу системы , а базисом является любая максимальная линейно независимая подсистема.

Задача 8. Найти размерность и базис линейной оболочки системы векторов

.

Решение. Преобразуем с помощью ЭПС матрицу из координат векторов системы к ступенчато - треугольному виду.

.

Столбцы последней матрицы линейно независимы, а столбцы линейно выражаются через них. Следовательно, векторы образуют базис , и .

Замечание. Базис в выбирается неоднозначно. Например, векторы также образуют базис .

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Найти размерность и базис линейной оболочки системы векторов.

8.1. . 8.2. .

8.3. . 8.4. .