Тема 1. Линейные пространства

2.1. ; 2.2. ;

2.3. ; 2.4. .

Задача 1. Проверить, что множество всех матриц размера относительно операций сложения матриц и умножения матрицы на число является линейным пространством.

Решение. При сложении матриц складываются элементы матрицы, стоящие на одинаковых местах, а при умножении матрицы на число все матричные элементы умножаются на это число. Таким образом, на каждом месте матрицы выполняются линейные операции с действительными числами. На множестве действительных чисел аксиомы линейного пространства, очевидно, выполнены, поэтому они выполнены и на множестве матриц.

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Проверить, что следующие множества являются линейными пространствами.

1.1. Множества геометрических векторов на прямой, плоскости и в пространстве соответственно (линейные операции над геометрическими векторами определены по обычным правилам).

1.2. Множество упорядоченных наборов чисел . Набор называется арифметическим вектором, а числа – его координатами. При сложении векторов складываются их координаты, а при умножении вектора на число каждая координата умножается на это число. Множество называется арифметическим или координатным - мерным пространством.

1.3. Множество непрерывных на отрезке функцийс обычными операциями сложения функций и умножения их на числа.

1.4. Множество многочленов степени не выше от одной переменной с обычными операциями сложения многочленов и умножения их на числа.

Указание. Проверить выполнение аксиом линейного пространства.