Линейная зависимость и независимость векторов

Пусть - система векторов и - произвольные числа.

Вектор называется линейной комбинацией векторов с коэффициентами . Векторы называются линейно независимыми, если из равенства нулю их линейной комбинации следует, что все коэффициенты комбинации равны нулю .

Система векторов линейно зависима, когда хотя бы один из векторов системы является линейной комбинацией других.

Задача 4. Доказать, что линейно независимая система не содержит двух пропорциональных векторов.

Решение. Пусть в линейно независимой системе векторов , например, векторы пропорциональны. Это значит, что существует число не равное нулю, такое, что . Тогда линейная комбинация равна нулю, причем не все коэффициенты указанной комбинации равны нулю, а значит, система векторов является линейно зависимой. Следовательно, сделанное предположение неверно.

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Доказать.

4.1. Линейно независимая система не содержит нулевого вектора.

4.2. Линейно независимая система не содержит равных векторов.

4.3. Линейно независимая система не содержит пропорциональных векторов.

4.4. Любая подсистема линейно независимой системы векторов независима.

Вопрос о линейной зависимости векторов пространства сводится к вопросу о существовании ненулевого решения однородной системы уравнений, коэффициентами которой являются координаты векторов .

Задача 5(1). Выяснить, является ли линейно независимой система векторов

.

Решение. Пусть линейная комбинация равна нулю. Записав это равенство в координатах, получим следующую систему уравнений:

.

Такая система уравнений называется треугольной. Она имеет единственное решение . Следовательно, векторы линейно независимы.

Задача 5(2). Выяснить, является ли линейно независимой система векторов

.

Решение. Векторы линейно независимы (см. задачу 5(1)). Докажем, что вектор является линейной комбинацией векторов . Коэффициенты разложения по векторам определяются из системы уравнений

.

Так как эта система треугольная, то она имеет единственное решение. Следовательно, система векторов линейно зависима.

Замечание. Матрицы, такие как в задаче 5(1), называются треугольными (верхними треугольными), а в задаче 5(2) – ступенчато-треугольными.

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Выяснить, являются ли линейно независимыми следующие системы векторов

5.1. . 5.2. .

5.3. . 5.4. .