Подпространства

Подмножество называется подпространством линейного пространства , если оно само является линейным пространством.

Подмножество только тогда является подпространством, когда оно замкнуто относительно линейных операций, т.е. из условия следует, что и .

Задача 2. Является ли линейным подпространством множество всех векторов плоскости, концы которых лежат на данной прямой (начала векторов, по умолчанию, в начале координат).

Решение. Если прямая не проходит через начало координат, то она не содержит нулевого вектора и, следовательно, не является подпространством.

В противном случае векторы, лежащие на этой прямой, образуют подпространство, т.к. это множество замкнуто относительно линейных операций.

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Выяснить, какие из следующих множеств геометрических векторов являются линейными подпространствами.

2.1. Все векторы плоскости, которые лежат на оси .

2.2. Все векторы плоскости, каждый из которых лежит на одной из осей координат или .

2.3. Все векторы плоскости, начала и концы которых лежат на данной прямой.

2.4. Все векторы плоскости, концы которых не лежат на данной прямой.

2.5. Все векторы плоскости, концы которых лежат в первой или третьей четвертисистемы координат.

2.6. Все векторы пространства, концы которых лежат на данной плоскости.

2.7. Все векторы пространства, концы которых не лежат на данной плоскости.

Задача 3. Является ли множество многочленов, степени которых равны точно , линейным подпространством?

Решение. Множество многочленов, степени которых равны точно , не образует подпространство, т.к. при сложении многочленов степени может получиться многочлен меньшей степени.

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Выяснить, какие из следующих подмножеств линейного пространства являются линейными подпространствами.

3.1. Множество всех векторов пространства ,у которых координаты − целые числа.

3.2. Множество всех векторов пространства , у которых координаты удовлетворяют уравнению .

3.3. Множество всех векторов пространства , у которых координаты удовлетворяют уравнению .

3.4. Множество всех векторов пространства , являющихся линейными комбинациями данных векторов .

3.5. Множество всех сходящихся последовательностей.

3.6. Множество всех расходящихся последовательностей.

3.7. Множество матриц вида , где .

3.8. Множество функций вида , где .

3.9. Множество многочленов вида , где .

3.10. Множество функций вида , где .