Комплексных корней характеристического уравнения

В этом случае матрица оператора не приводится к диагональному виду, так как у оператора нет собственного базиса.

Пусть ( и – действительные векторы) – собственный вектор с собственным значением в пространстве над полем комплексных чисел. Линейная оболочка векторов и является инвариантным двумерным подпространством оператора , т.е. из условия . В базисе матрица ограничения оператора на подпространстве имеет вид

.

Если характеристическое уравнение оператора не содержит кратных корней, то матрица оператора в каноническом базисе имеет блочно диагональный вид, где на главной диагонали стоят действительные собственные значения оператора, а также блоки вида , соответствующие каждой паре сопряженных комплексных корней .

Задача 3. Найти канонический базис и матрицу оператора в этом базисе для оператора, заданного матрицей .

Решение. Найдем собственные значения.

Собственный вектор с собственным значением удовлетворяет системе: Выберем

Собственный вектор с собственным значением найдем, решив систему: Например .

Следовательно , где .

Ответ: .

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Найти канонический базис и матрицу оператора в этом базисе для операторов, заданных следующими матрицами.

3.1. . 3.2. . 3.3. .

3.4. . 3.5. .