Тема 10. Линии и поверхности второго порядкаГиперповерхностью второго порядка в мерном евклидовом пространстве называется геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению второго порядка, т.е. уравнению вида: , или в векторной форме . Матрица , составленная из всех коэффициентов уравнения, называется матрицей уравнения. Квадратичная форма называется группой старших членов уравнения ( – самосопряженный оператор), – линейной частью, а – константа. Система координат, в которой матрица принимает наиболее простой вид, называется канонической. Уравнение поверхности в этой системе координат принимает канонический вид. Уравнение при задает линию, а при – поверхность второго порядка. Декартова прямоугольная система координат в геометрическом пространстве определяется выбором начала координат и ортонормированного базиса (ОНБ). Переход к новой системе координат может быть выполнен с помощью параллельного переноса (изменения начала координат) и поворота (перехода к новому ОНБ). При переносе начала координат в точку () уравнение принимает вид , где , . Группа старших членов уравнения поверхности при этом не меняется. Если квадратичная часть имеет канонический вид, то уравнение поверхности приводится к каноническому виду с помощью только параллельного переноса. Задача 1. С помощью переноса начала координат привести уравнение линии к каноническому виду. Назвать линию. Решение. Выделив полные квадраты по каждой из переменных и , получим уравнение . В переменных уравнение примет вид , или . Это уравнение гиперболы с центром в точке и действительной осью . З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я С помощью переноса начала координат привести уравнение линии к каноническому виду. Назвать и нарисовать эту линию на плоскости . 1.1. . 1.2. . 1.3. . 1.4. . Задача 2. С помощью переноса начала координат привести к каноническому виду уравнение поверхности . Назвать поверхность. Решение. Выделим полные квадраты по каждой из переменных и . Получим уравнение . После замены переменных уравнение примет вид . Это каноническое уравнение гиперболического параболоида. Замечание. Если коэффициент при квадрате переменной (канонический коэффициент) отличен от нуля, то линейная часть канонического уравнения не содержит этой переменной. В частности, если все канонические коэффициенты квадратичной формы отличны от нуля, то каноническое уравнение не содержит линейных членов. З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я С помощью переноса начала координат привести уравнение поверхности к каноническому виду и назвать эту поверхность. 2.1. . 2.2. . 2.3. . 2.4. . 2.5. . Если квадратичная форма невырожденная , то поверхность центральная (имеет единственный центр симметрии). При переносе начала координат в центр поверхности, линейная часть уравнения обращается в ноль, следовательно, центр поверхности удовлетворяет уравнению . При этом константа вычисляется по формуле: . Задача 3. Перенести начало координат в центр линии и записать уравнение линии в новой системе координат. Решение. Перенос начала координат в т. задается формулами , где – старые, а – новые координаты точки . Для определения координат центра линии запишем уравнение линии в координатах и приравняем к нулю коэффициенты при и . Получим следующую систему уравнений: . Решив эту систему, получим . Для вычисления константы надо в левую часть уравнения линии подставить координаты центра, т.е. . Таким образом, координаты центра , а уравнение линии в новой системе координат имеет вид . З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я Перенести начало координат в центр линии и записать уравнение линии в новой системе координат. 3.1. . 3.2. . 3.3 . 3.4. . Задача 4. П еренести начало координат в центр поверхности и записать уравнение поверхности в новой системе координат. Решение. Центр поверхности удовлетворяет уравнению . Система для определения координат центра задается первыми тремя строками матрицы уравнения поверхности . Эта система имеет вид . Решив систему, найдем координаты центра . Новая константа определяется равенством . Уравнение линии в новой системе координат имеет вид . З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я Перенести начало координат в центр поверхности , и записать уравнение поверхности в новой системе координат. 4.1.. . 4.2. . 4.3. . 4.4. . Для приведения уравнения центральной поверхности второго порядка к каноническому виду надо перенести начало координат в центр поверхности, а затем найти канонический ОНБ квадратичной формы . Задача 5. Уравнение линии привести к каноническому виду, назвать линию и найти каноническую систему координат. Решение. Составим систему уравнений для определения координат центра линии. Получим: . После переноса начала координат в точку уравнение линии примет следующий вид: . Для приведения этого уравнения к каноническому виду, найдем канонические коэффициенты квадратичной формы, являющиеся собственными значениями матрицы квадратичной формы. Составим характеристическое уравнение матрицы : . Корни этого уравнения . Канонический вид уравнения линии , или . Это гипербола. Канонический ОНБ квадратичной формы состоит из собственных векторов матрицы . Собственный вектор с собственным значением удовлетворяет уравнению , а с собственным значением – уравнению . Нормированные решения этих уравнений дают собственный ОНБ. . Каноническое уравнение задает гиперболу. Каноническая система координат определяется новым началом координат и матрицей перехода к каноническому ОНБ . З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я Уравнение линии привести к каноническому виду, назвать линию и найти каноническую систему координат . 5.1. . 5.2. . 5.3. . 5.4. . Для приведения к каноническому виду уравнения линии (поверхности) параболического типа, надо сначала выполнить поворот (перейти к каноническому ОНБ квадратичной формы), а затем перенести начало координат в вершину параболоида. Задача 6. Уравнение линии привести к каноническому виду, назвать линию и найти каноническую систему координат. Решение. Это уравнение линии параболического типа, т.к. . Один из корней характеристического уравнения равен нулю. Ненулевой корень равен . Матрица перехода к каноническому ОНБ квадратичной формы имеет вид: . Система определяет связь между старыми и новыми координатами. Записав уравнение линии в координатах , получим . Выделив полный квадрат по переменной , приведем уравнение к виду . В координатах получим каноническое уравнение параболы . Начало координат канонической системы координат находится в вершине параболы. Определим координаты в исходной системе координат. Из . Ответ. Каноническое уравнение задает параболу. Каноническая система координат определяется точкой и матрицей перехода . З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я Уравнение линии привести к каноническому виду, назвать линию и найти каноническую систему координат . 6.1. . 6.2. . 6.3. . 6.4. . Канонический вид уравнения поверхности второго порядка можно получить с помощью инвариантов уравнения. Инвариантами уравнения поверхности второго порядка при являются инварианты матрицы квадратичной формы и определитель матрицы уравнения . В случае центральной поверхности (), уравнение приводится к виду . Канонические коэффициенты , определяются по инвариантам а находится из равенства . Если , то уравнение приводится к виду . Коэффициенты определяются по инвариантам , а число удовлетворяет уравнению . Задача 7. С помощью инвариантов написать каноническое уравнение поверхности . Решение. По матрице квадратичной формы: вычислим инварианты. , , . Так как , то уравнение приводится к каноническому виду Характеристическое уравнение имеет вид . Ненулевые корни этого уравнения Для определения коэффициента надо сравнить значение инварианта для исходного уравнения и для канонического. Вычислив , получим, что . Поделив уравнение на 36, получим каноническое уравнение гиперболического параболоида З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я С помощью инвариантов написать каноническое уравнение поверхности и назвать эту поверхность. 7.1. . 7.2. . 7.3. . 7.4. . 7.5. . 7.6. . Ответы 1.1. Окружность . 1.2. Эллипс . 1.3. Гипербола . 1.4. Парабола . 2.1. Сфера . 2.2. Эллипсоид . 2.3. Двуполостный гиперболоид . 2.4. Однополостный гиперболоид . 2.5. Эллиптический параболоид . В задачах 3.1.-4.4. в ответах приводятся координаты центра и уравнение линии (поверхности) в новых координатах. 3.1. . 3.2. . 3.3. . 3.4. . 4.1. . 4.2. . 4.3. . 4.4. . В задачах 5.1.-6.4. в ответах приводятся название и каноническое уравнение линии, координаты нового начала координат и матрица перехода к каноническому ОНБ. 5.1. Эллипс , , . 5.2. Гипербола , . 5.3. Эллипс , , . 5.4. Вырожденная гипербола – пара пересекающихся прямых , . 6.1. Парабола . 6.2. Парабола . 6.3. Парабола . 6.4. Парабола . 7.1. Эллипсоид . 7.2. Однополостный гиперболоид . 7.3. Двуполостный гиперболоид . 7.4. Конус вращения . 7.5. Эллиптический параболоид . 7.6. Гиперболический параболоид .
Ответственность за сведения, представленные в издании, несут авторы.
Учебное издание
НОЛЬДЕ Евгений Львович ГУБАРЕВА Елена Алексеевна
|