Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Самосопряженные операторы





Оператор , действующий в евклидовом пространстве Е, называется самосопряженным, если . Матрица самосопряженного оператора в ОНБ симметрична. Все собственные значения самосопряженного оператора действительны, а собственные векторы с различными собственными значениями попарно ортогональны. У самосопряженного оператора существует собственный ОНБ.

Задача 4. Найти собственный ОНБ и матрицу оператора в этом базисе для оператора , заданного матрицей .

Решение. Так как ранг матрицы равен 1, то 0 является корнем характеристического уравнения кратности 2, т.е. . Корень найдем с помощью инварианта .

Собственные векторы с собственным значением удовлетворяют уравнению . Векторы образуют ортогональный базис этого собственного подпространства. Вектор , ортогональный векторам , является собственным вектором с собственным значением . Для того, чтобы получить собственный ОНБ пространства, надо пронормировать векторы .

Ответ: , .

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Найти собственный ОНБ и матрицу оператора в этом базисе для операторов, заданных матрицами.

4.1. . 4.2. . 4.3. . 4.4. .

4.5. . 4.6. .

Задача 5. Найти собственный ОНБ для оператора ортогонального проецирования пространства на плоскость .

Решение. При ортогональном проецировании пространства на плоскость все векторы плоскости остаются неподвижными, т.е. являются собственными векторами с собственным значением 1, а вектор нормали переходит в нулевой вектор, т.е. является собственным вектором с собственным значением 0. Собственный ОНБ оператора (он неоднозначен) можно получить, если к любому ОНБ плоскости добавить вектор нормали единичной длины. Одна из матриц перехода имеет вид: , .

З а д а ч и д л я с а м о с т о я т е л ь н о г о р е ш е н и я

Найти собственный ОНБ для следующих операторов.

5.1. Оператор ортогонального проецирования пространства на плоскость .

5.2. Оператор симметрии пространства относительно плоскости .

5.3. Оператор ортогонального проецирования пространства на прямую .

5.4. Оператор симметрии пространства относительно прямой .

Ответы

1.1. Собственных векторов нет. 1.2. .

1.3. . 1.4. .

1.5. . 1.6. .

2.1. . 2.2. . 2.3. Нет.

2.4. . 2.5. .

3.1. 3.2.

3.3. 3.4.

3.5.

4.1. . 4.2. .

4.3. . 4.4. .

4.5. , .

4.6. , .

5.1. , . 5.2. , .

5.3. , . 5.4. , .








Дата добавления: 2015-09-07; просмотров: 703. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...


Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...


Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...


Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Огоньки» в основной период В основной период смены могут проводиться три вида «огоньков»: «огонек-анализ», тематический «огонек» и «конфликтный» огонек...

Упражнение Джеффа. Это список вопросов или утверждений, отвечая на которые участник может раскрыть свой внутренний мир перед другими участниками и узнать о других участниках больше...

Влияние первой русской революции 1905-1907 гг. на Казахстан. Революция в России (1905-1907 гг.), дала первый толчок политическому пробуждению трудящихся Казахстана, развитию национально-освободительного рабочего движения против гнета. В Казахстане, находившемся далеко от политических центров Российской империи...

Принципы, критерии и методы оценки и аттестации персонала   Аттестация персонала является одной их важнейших функций управления персоналом...

Пункты решения командира взвода на организацию боя. уяснение полученной задачи; оценка обстановки; принятие решения; проведение рекогносцировки; отдача боевого приказа; организация взаимодействия...

Что такое пропорции? Это соотношение частей целого между собой. Что может являться частями в образе или в луке...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия