Отрицательно-определенные
Для отрицательной определённости квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы главные миноры чётного порядка её матрицы были положительны, а нечётного порядка — отрицательны.
Квадратичные формы, для которых Критерий Сильвестра определяет, является ли симметричная квадратная матрица положительно (отрицательно, неотрицательно) определённой.
Пусть квадратичная форма имеет в каком-то базисе матрицу огда эта форма положительно определена, если и только если все её главные (угловые) миноры Δi положительны. Форма отрицательно определена, если и только если знаки Δi чередуются, причём Δ1 < 0. Здесь главными минорами матрицы A называются определители вида
Для неотрицательно определённых матриц критерий действует только в одну сторону: если форма неотрицательно определена, то главные миноры неотрицательны. Обратное неверно. Например, матрица
|
таких, что 
Нормальный вид Квадратичная форма является отрицательно-определенной тогда и только тогда, когда 
не является неотрицательно определённой — так как, например, (Mv,v) = − 2 для v = (0,1, − 1). В то же время все её главные миноры равны 0, то есть неотрицательны.
