Доказательство. Допустим, что для некоторого элемента x на ряду с разложением x=x1e1+x2e2+ +xnen справедливо еще и другое разложения по тому же самому базису

Доказательство.

Допустим, что для некоторого элемента x на ряду с разложением x=x₁e₁+x₂e₂+…+x_ne_n справедливо еще и другое разложения по тому же самому базису x=x^’₁e₁+x^’₂e₂+…+x^’_ne_n. Почленное вычитание равенств приводит к соотношению (x₁-x^’₁)e₁+(x₂-x^’₂)e₂+…+(x_n-x^’_n)e_n=0. В силу линейной независимости базисных элементов e₁, e₂,…, e_n, это соотношение приводит к равенствам x₁-x^’₁=0, x₂-x^’₂=0,…, x_n-x^’_n=0 или x₁=x^’₁, x₂=x^’₂,…, x_n=x^’_n. Теорема доказана.

Значение базиса заключается также и в том, что операции сложения элементов и умножения их на числа при задании базиса превращаются в соответствующие операции над числами-координатами этих элементов.

Примеры базиса (конкретных линейных пространств)

1) Любые три некомпланарных вектора образуют базис в линейном пространстве B₃

2) Совокупность n элементов образуют базис в линейном пространстве A_n

3) Базис линейного пространства {x} состоит из одного элемента, в качестве которого можно взять любой ненулевой элемент этого пространства (то есть любое положительное вещественное число x₀ не равное 1)

Теорема. При сложении двух элементов линейного пространства L их координаты (относительно любого базиса пространства L) складываются; при умножении произвольного элемента на любое число λ все координаты этого элемента умножаются на λ.

Доказательство.

Пусть e₁, e₂,…, e_n произвольный базис пространства L, x=x₁e₁+x₂e₂+…+x_ne_n и y=y₁e₁+y₂e₂+…+y_ne_n – любые два элемента этого пространства.

Тогда в силу аксиом 1-8 (x+y)=(x₁+y₁)e₁+(x₂+y₂)e₂+…+(x_n+y_n)e_n, λx=(λx₁)e₁+(λx₂)e₂+…+(λx_n)e_n.

В силу единственности разложения по базису теорема доказана.

Операции над элементами сводятся к операциям над их координатами на основании свойств.

1) Элемент является нулевым элементом линейного пространства тогда и только тогда, когда все его координаты в любом базисе равны нулю.

2) Координаты суммы элементов в некотором базисе равны сумме соответствующих координат данных элементов в то же базисе.

3) Координаты произведения элемента на число равны произведению каждой координаты на это число (в одном и том же базисе).

4) Два элемента равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты в одном и том же базисе.

5) Элемент X является линейной комбинацией элементов x₁, x₂,…, x_n тогда и только тогда, когда каждая координата элемента X является такой же линейной комбинацией соответствующих координат этих элементов в одном и том же базисе.

 

1. Размерность линейного пространства. Две теоремы о связи размерности линейного пространства и базиса.

Определение. Линейное пространство L называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых элементов, а любые (n+1) элементов уже являются линейно зависимыми. При этом число n называют размерностью пространства L.

Размерность пространства L обычно обозначают символ dim L.

Определение. Линейное пространство L называют бесконечномерным, если в нем существует любое число линейно независимых элементов. (dim L=∞)

Теорема. Если линейной пространство L – размерности n, то любые n линейно независимых элементов этого пространства образуют его базис.