Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Доказательство. Допустим, что для некоторого элемента x на ряду с разложением x=x1e1+x2e2+ +xnen справедливо еще и другое разложения по тому же самому базису





Доказательство.

Допустим, что для некоторого элемента x на ряду с разложением x=x1e1+x2e2+…+xnen справедливо еще и другое разложения по тому же самому базису x=x1e1+x2e2+…+xnen. Почленное вычитание равенств приводит к соотношению (x1-x1)e1+(x2-x2)e2+…+(xn-xn)en=0. В силу линейной независимости базисных элементов e1, e2,…, en, это соотношение приводит к равенствам x1-x1=0, x2-x2=0,…, xn-xn=0 или x1=x1, x2=x2,…, xn=xn. Теорема доказана.

Значение базиса заключается также и в том, что операции сложения элементов и умножения их на числа при задании базиса превращаются в соответствующие операции над числами-координатами этих элементов.

Примеры базиса (конкретных линейных пространств)

1) Любые три некомпланарных вектора образуют базис в линейном пространстве B3

2) Совокупность n элементов образуют базис в линейном пространстве An

3) Базис линейного пространства {x} состоит из одного элемента, в качестве которого можно взять любой ненулевой элемент этого пространства (то есть любое положительное вещественное число x0 не равное 1)

Теорема. При сложении двух элементов линейного пространства L их координаты (относительно любого базиса пространства L) складываются; при умножении произвольного элемента на любое число λ все координаты этого элемента умножаются на λ.

Доказательство.

Пусть e1, e2,…, en произвольный базис пространства L, x=x1e1+x2e2+…+xnen и y=y1e1+y2e2+…+ynen – любые два элемента этого пространства.

Тогда в силу аксиом 1-8 (x+y)=(x1+y1)e1+(x2+y2)e2+…+(xn+yn)en, λx=(λx1)e1+(λx2)e2+…+(λxn)en.

В силу единственности разложения по базису теорема доказана.

Операции над элементами сводятся к операциям над их координатами на основании свойств.

1) Элемент является нулевым элементом линейного пространства тогда и только тогда, когда все его координаты в любом базисе равны нулю.

2) Координаты суммы элементов в некотором базисе равны сумме соответствующих координат данных элементов в то же базисе.

3) Координаты произведения элемента на число равны произведению каждой координаты на это число (в одном и том же базисе).

4) Два элемента равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты в одном и том же базисе.

5) Элемент X является линейной комбинацией элементов x1, x2,…, xn тогда и только тогда, когда каждая координата элемента X является такой же линейной комбинацией соответствующих координат этих элементов в одном и том же базисе.

 

  1. Размерность линейного пространства. Две теоремы о связи размерности линейного пространства и базиса.

Определение. Линейное пространство L называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых элементов, а любые (n+1) элементов уже являются линейно зависимыми. При этом число n называют размерностью пространства L.

Размерность пространства L обычно обозначают символ dim L.

Определение. Линейное пространство L называют бесконечномерным, если в нем существует любое число линейно независимых элементов. (dim L=∞)

Теорема. Если линейной пространство L – размерности n, то любые n линейно независимых элементов этого пространства образуют его базис.







Дата добавления: 2015-09-07; просмотров: 337. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...


Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...


Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...


Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Этапы творческого процесса в изобразительной деятельности По мнению многих авторов, возникновение творческого начала в детской художественной практике носит такой же поэтапный характер, как и процесс творчества у мастеров искусства...

Тема 5. Анализ количественного и качественного состава персонала Персонал является одним из важнейших факторов в организации. Его состояние и эффективное использование прямо влияет на конечные результаты хозяйственной деятельности организации.

Билет №7 (1 вопрос) Язык как средство общения и форма существования национальной культуры. Русский литературный язык как нормированная и обработанная форма общенародного языка Важнейшая функция языка - коммуникативная функция, т.е. функция общения Язык представлен в двух своих разновидностях...

Виды сухожильных швов После выделения культи сухожилия и эвакуации гематомы приступают к восстановлению целостности сухожилия...

КОНСТРУКЦИЯ КОЛЕСНОЙ ПАРЫ ВАГОНА Тип колёсной пары определяется типом оси и диаметром колес. Согласно ГОСТ 4835-2006* устанавливаются типы колесных пар для грузовых вагонов с осями РУ1Ш и РВ2Ш и колесами диаметром по кругу катания 957 мм. Номинальный диаметр колеса – 950 мм...

Философские школы эпохи эллинизма (неоплатонизм, эпикуреизм, стоицизм, скептицизм). Эпоха эллинизма со времени походов Александра Македонского, в результате которых была образована гигантская империя от Индии на востоке до Греции и Македонии на западе...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.01 сек.) русская версия | украинская версия