Доказательство. Допустим, что среди элементов x1, x2, , xn имеется r линейно независимых элементов (обозначим x1, x2,

Допустим, что среди элементов x₁, x₂,…, x_n имеется r линейно независимых элементов (обозначим x₁, x₂,…, x_r), а любые (r+1) из элементов x₁, x₂,…, x_n линейно зависимы. Тогда каждый из элементов x₁, x₂,…, x_n представляет собой некоторую линейную комбинацию элементов x₁, x₂,…, x_r, и поскольку по определению каждый элемент линейной оболочки L(x₁, x₂,…, x_n) представляет собой некоторую линейную комбинацию элементов x₁, x₂,…, x_n, то каждый элемент указанной линейной оболочки представляет собой некоторую линейную комбинацию одних только элементов x₁, x₂,…, x_r. Но это и означает, что система линейно независимых элементов x₁, x₂,…, x_r образует базис линейной оболочки L(x₁, x₂,…, x_n) и что размерность L(x₁, x₂,…, x_n) равна r. Теорема доказана.

1. Сумма и пересечение подпространств. Теорема о сумме размерностей произвольных подпространств.

Пусть K₁ и K₂ – два произвольных подпространства одного и того же линейного пространства L.

Определение. Совокупность всех элементов x пространства L, принадлежащих одновременно K₁ и K₂, образуют подпространство пространства L, называемое пересечением подпространств K₁ и K₂.

Определение. Совокупность всех элементов пространства L вида x+y, где x – элемент подпространства K₁, а y – элемент подпространства K₂, образует подпространство пространства L, называемое суммой подпространств K₁ и K₂.