Примеры. 1) Конкретным примером линейной оболочки может служить линейная оболочка элементов 1, t, t2, , tn линейного пространства C[a,b] всех функций x=x(t)

1) Конкретным примером линейной оболочки может служить линейная оболочка элементов 1, t, t²,…, tⁿ линейного пространства C[a,b] всех функций x=x(t), определенных и непрерывных на сегменте a≤t≤b. Эта линейная оболочка представляет собой множество {P_n(t)} всех алгебраических многочленов степени, не превышающих натурального числа n

2) Линейной оболочкой двух не лежащей на одной прямой векторов x₁ и x₂ будет совокупность всех векторов, расположенных в плоскости, которую определяют векторы x₁ и x₂.

3) В трехмерном пространстве линейной оболочкой одного ненулевого вектора x₁ будет совокупность всех векторов, лежащих на прямой, определяемой вектором x₁.

4) Линейной оболочкой вектора a является множество векторов коллинеарных a.

5) Возьмем вектор i, тогда K(вектор i)={все векторы на оси Ox}=Ox

6) Вектор a≠0, то K(a)={прямая, содержащая вектор a}

7) K(i,j)=xOy={xi+yj}

8) K(i,jk)=V₃

Размерность любого подпространства n-мерного линейного пространства L не превосходит размерности n пространства L (ибо всякая линейно независимая система элементов подпространства является линейно независимой системой элементов всего пространства L). Более точно можно утверждать, что если подпространство K не совпадает со всем n-мерным линейным пространством L, то размерность K строго меньше n. Заметим, что если во всем пространстве L выбран базис e₁, e₂,…, e_n, то базисные элементы подпространства K, вообще говоря, нельзя выбирать из числа элементов e₁, e₂,…, e_n (ибо в общем случае ни один из элементов e₁, e₂,…, e_n может не принадлежать K). Однако справедливо обратное утверждение: если элементы e₁, e₂,…, e_k составляют базис k-мерного подпространства n-мерного линейного пространства L, то этот базис можно дополнить элементами e_k+1,…, e_n пространства L так, что совокупность элементов e₁,…, e_k, e_k+1,…, e_n будет составлять базис всего пространства L.

Теорема. Размерность линейной оболочки K(x₁, x₂,…, x_n) элементов x₁, x₂,…, x_n равна максимальному числу линейно независимых элементов в системе элементов x₁, x₂,…, x_n. В частности, если элементы x₁, x₂,…, x_n линейно независимы, то размерность линейной оболочки L(x₁, x₂,…, x_n) равна числу элементов x₁, x₂,…, x_n (а сами эти элементы образуют базис линейной оболочки L(x₁, x₂,…, x_n))