Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Доказательство. Обозначим через K0 пересечение K1 и K2, а через K’ – сумму K1 и K2





Обозначим через K0 пересечение K1 и K2, а через K – сумму K1 и K2. Считая K0 k-мерным, выберем в нем базис e1, e2,…, ek. Дополним базис до базиса e1,…ek, g1,…, gl в подпространстве K1 и до базиса e1,…, ek, f1,…, fm в подпространстве L2. Достаточно доказать, что элементы g1,…, gl, e1,…, ek, f1,…, fm являются базисом суммы K подпространств K1 и K2. Для этого в свою очередь достаточно доказать, что элементы g1,…, gl, e1,…, ek, f1,…, fm линейно независимы и что любой элемент x суммы K представляет собой некоторую линейную комбинацию элементов g1,…, gl, e1,…, ek, f1,…, fm.

Сначала докажем, что элементы g1,…, gl, ek, f1,…, fm линейно независимы. Предположим, что некоторая линейная комбинация элементов g1,…, gl, e1,…, ek, f1,…, fm представляет собой нулевой элемент, то есть справедливо равенство α1g1+…+αlgl1e1+…+βkek1f1+…+γmfm=0 или α1g1+…+αlgl1e1+…+βkek=-γ1f1-…-γmfm. Так как левая часть является элементом K1, а правая часть является элементом K2, то как левая, так и правая часть принадлежит пересечению K0 подпространств K1 и K2. Отсюда следует, в частности, что правая часть представляет собой некоторую линейную комбинацию элементов e1, e2,…, ek, то есть найдутся такие числа λ1,…, λk, что -γ1f1-…-γmfm1e1+…+λkek.

В силу линейной независимости базисных элементов e1,…, ek, f1,…, fm равенство -γ1f1-…-γmfm1e1+…+λkek возможно лишь в случае, когда все коэффициенты γ1,…γm, λ1,…, λk равны нулю. Но при этом из α1g1+…+αlgl1e1+…+βkek1f1+…+γmfm=0 мы получим, что α1g1+…+αlgl1e1+…+βkek=0. В силу линейной независимости базисных элементов e1,…ek, g1,…, gl равенство α1g1+…+αlgl1e1+…+βkek=0 возможно лишь в случае, когда все коэффициенты α1,…,αl1,…, βk равны нулю. Тем самым мы установили, что равенство α1g1+…+αlgl1e1+…+βkek1f1+…+γmfm=0 возможно лишь в том случае, когда все коэффициенты α1,…,αl1,…, βk, γ1,…γm равны нулю, а это и доказывает линейную независимость элементов g1,…, gl, e1,…, ek, f1,…, fm.

Остается доказать, что любой элемент x суммы K представляет собой некоторую линейную комбинацию элементов g1,…, gl, e1,…, ek, f1,…, fm, но это сразу следует из того, что этот элемент x представляет собой (по определению K) сумму некоторого элемента x1 подпространства K1, являющегося линейной комбинацией элементов e1,…ek, g1,…, gl, и некоторого элемента x2 подпространства K2, являющегося линейной комбинацией элементов e1,…, ek, f1,…, fm. Теорема доказана.

 

  1. Разложение линейного пространства в прямую сумму подпространств. Определение и теорема.

Пусть L1 и L2 – два подпространства линейного n-мерного пространства L.

Определение. Пространство L представляет собой прямую сумму подпространств L1 и L2, если каждый элемент x пространства L может быть единственным способом представлен в виде суммы x=x1+x2 элемента x1 подпространства L1 и элемента x2 подпространства L2.

Обозначение. L=L1 L2 (Разложение пространства L в прямую сумму подпространств L1 и L2)

Теорема. Для того чтобы n-мерное пространство L представляло собой прямую сумму подпространств L1 и L2, достаточно, чтобы пересечение L1 и L2 содержало только нулевой элемент и чтобы размерность L бы равна сумме размерностей подпространств L1 и L2.







Дата добавления: 2015-09-07; просмотров: 421. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...


Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...


ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...


Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...

СПИД: морально-этические проблемы Среди тысяч заболеваний совершенно особое, даже исключительное, место занимает ВИЧ-инфекция...

Понятие массовых мероприятий, их виды Под массовыми мероприятиями следует понимать совокупность действий или явлений социальной жизни с участием большого количества граждан...

Тактика действий нарядов полиции по предупреждению и пресечению правонарушений при проведении массовых мероприятий К особенностям проведения массовых мероприятий и факторам, влияющим на охрану общественного порядка и обеспечение общественной безопасности, можно отнести значительное количество субъектов, принимающих участие в их подготовке и проведении...

Сосудистый шов (ручной Карреля, механический шов). Операции при ранениях крупных сосудов 1912 г., Каррель – впервые предложил методику сосудистого шва. Сосудистый шов применяется для восстановления магистрального кровотока при лечении...

Трамадол (Маброн, Плазадол, Трамал, Трамалин) Групповая принадлежность · Наркотический анальгетик со смешанным механизмом действия, агонист опиоидных рецепторов...

Мелоксикам (Мовалис) Групповая принадлежность · Нестероидное противовоспалительное средство, преимущественно селективный обратимый ингибитор циклооксигеназы (ЦОГ-2)...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.012 сек.) русская версия | украинская версия