Доказательство. Для любого вещественного числа λ, в силу аксиомы 4скалярного произведения, справедливо неравенство (λx-y

Для любого вещественного числа λ, в силу аксиомы 4скалярного произведения, справедливо неравенство (λx-y, λx-y)≥0. В силу аксиом 1-3 последнее неравенство можно переписать в виде λ²(x,x)-2λ(x,y)+(y,y)≥0. Необходимым и достаточным условием неотрицательности последнего квадратного трехчлена является неположительность его дискриминанта, то есть неравенство (x,y)²-(x,x)(y,y)≤0. Из этого неравенства сразу вытекает неравенство (x,y)²≤(x,x)(y,y). Теорема доказана.

1. Нормированное линейное пространство. Норма в евклидовом пространстве. Угол между элементами линейного пространства. Ортогональные элементы. Теорема Пифагора.

Определение. Линейное пространство L называется нормированным, если выполнены следующие два требования:

1. Имеется правило, посредством которого каждому элементу x пространства L ставится в соответствие вещественное число, называемое нормой (или длинной) указанного элемента и обозначаемое символом ||x||.
2. Указанное правило подчинено следующим трем аксиомам:

1) ||x||>0, если x – ненулевой элемент; ||x||=0, если x – нулевой элемент

2) ||λx||=|λx|| для любого элемента x и любого вещественного числа λ

3) Для любых двух элементов x и y справедливо следующее неравенство ||x+y||≤||x||+||y|| называемое неравенством треугольника (или неравенство Минковского)

Теорема. Всякое евклидово пространство является нормированным, если в нем норму любого элемента x определить равенством ||x||=(x,x)^1/2