Доказательство. Достаточно доказать, что любое n-мерное евклидово пространство E’ изоморфно евклидову пространство En упорядоченных совокупностей n вещественных чисел со

Достаточно доказать, что любое n-мерное евклидово пространство E^’ изоморфно евклидову пространство Eⁿ упорядоченных совокупностей n вещественных чисел со скалярным произведением (x,y)=(x₁y₁+…+x_ny_n). Согласно теореме о существование ортонормированного базиса в евклидовом пространстве в евклидовом пространстве E^’ существует ортонормированный базис e^’₁,…, e^’_n. Каждому элементу x^’=x₁e^’₁+…+x_ne^’_n пространства E^’ ставим в соответствие n вещественных чисел x₁, x₂,…, x_n, тое сть вполне определенный элемент x=(x₁, x₂,…, x_n) пространства Eⁿ.

Установленное соответствие будет взаимно однозначным. Кроме того, из теоремы о сложении и умножении координат любого элемента линейного пространства, вытекает, что если элементам x^’=(x₁, x₂,…, x_n) и y^’=(y₁, y₂,…, y_n) пространства E^’ отвечают соответственно элементы x=(x₁, x₂,…, x_n) и y=(y₁, y₂,…, y_n) пространства Eⁿ, то элементу x^’+y^’ отвечает элемент x+y, а элементу λx^’ отвечает элемент λx.

Остается доказать, что для соответствующих пар элементов x^’, y^’ и x, y сохраняется величина скалярного произведения. В силу ортонормированности базиса e^’₁,…, e^’_n и формулы (x,y)=(x₁y₁+…+x_ny_n) (x^’,y^’)=(x₁y₁+…+x_ny_n). С другой стороны в силу формулы (x,y)=(x₁y₁+…+x_ny_n), определяющей скалярное произведение в пространстве Eⁿ (x,y)=(x₁y₁+…+x_ny_n). Теорема доказана.

Из этой теоремы следует, что если справедлива теорема для какого-то первого евклидова пространства размерности n, то она верна и для всех других пространств той же размерности.

1. Комплексное евклидово пространство. Следствия из аксиом. Неравенство Коши-Буняковского. Норма. Скалярное произведение.

Определение. Комплексное линейное пространство R комплексным евклидовым пространством, если выполнены следующие два требования:

1. Имеется правило, посредством которого любым двум элементам этого пространства x и y ставится в соответствие комплексное число, называемое скалярным произведением этих элементов и обозначаемое символом (x,y)
2. Указанное правило подчинено следующим четырем аксиомам:

1) (x,y)=(y,x) (переместительное свойство или симметрия) ((y,x) число комплексно сопряженное с (y,x))

2) (x₁+x₂,y)=(x₁,y)+(x₂,y) (распределительное свойство)

3) (λx,y)=λ(x,y) для любого вещественного λ

4) (x,x) представляет собой вещественное неотрицательное число, обращающееся в нуль лишь в случае, когда x – нулевой элемент.

Следствия.

1) (x,λy)=λ(x,y) (из аксиом 1 и 3 заключаем, что (x,λy)=(λy,x)=λ(y,x)= λ(x,y))(

2) (x,y₁+y₂)=(x,y₁)+(x,y₂) (из аксиом 1 и 2 получим, что (x,y₁+y₂)=(y₁+y₂,x)=(y₁,x)+(y₂,x)=(x,y₁)+(x,y₂)