Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Доказательство.





На основании аксиомы 4дл любого комплексного числа λ справедливо неравенство (λx-y, λx-y)≥0. Так как в силу аксиом 1-3 и их следствий (λx-y, λx-y)=λλ(x,x)-λ(x,y)-λ(y,x)+(y,y)=|λ|2(x,x)-λ(x,y)-λ(x,y)+(y,y), то неравенство (λx-y, λx-y)≥0 принимает вид |λ|2(x,x)-λ(x,y)-λ(x,y)+(y,y)≥0.

Обозначим через ϕ аргумент комплексного числа (x,y) и представим это число в тригонометрической форме (x,y)=|(x,y)|(cosϕ+isinϕ). Положим теперь комплексное число λ равным λ=t(cosϕ-isinϕ), где t – произвольное вещественное число.

Из соотношений (x,y)=|(x,y)|(cosϕ+isinϕ) и λ=t(cosϕ-isinϕ) очевидно, что |λ|=|t|, λ(x,y)=λ(x,y)=t|(x,y)|. Поэтому при выбранном нами λ неравенство |λ|2(x,x)-λ(x,y)-λ(x,y)+(y,y)≥0 переходит в неравенство t2(x,x)-2t|(x,y)|+(y,y)≥0 справедливое при любом вещественном t. Необходимым и достаточным условием неотрицательности квадратного трехчлена, стоящего в левой части этого неравенства, является неположительность его дискриминанта, то есть неравенство |(x,y)|2-(x,x)(y,y)≤0 эквивалентное неравенству |(x,y)|2≤(x,x)(y,y). Теорема доказана.

Всякое комплексное евклидово пространство является нормированным, если в нем норму любого элемента x определить соотношением ||x||=[(x,x)]1/2. В частности, во всяком комплексном евклидовом пространстве с нормой, определяемое соотношением ||x||=[(x,x)]1/2, справедливо неравенство треугольника ||x+y||≤||x||+||y||.

(Понятие угла между двумя произвольными элементами x и y в комплексном евклидовом пространстве теряет смысл, вследствие того, что скалярное произведение (x,y) является комплексным числом)

 

 

  1. Определение линейного оператора. Действие над линейными операторами. Пространство линейных операторов. Нулевой, противоположный и тождественный операторы.

Определение. Оператор A, действующий из V в W (A: V→W), называется линейным, если для любых элементов x1 и x2 пространства V и любого комплексного числа λ выполняются соотношения.

1) A(x1+x2)=Ax1+Ax2 (свойство аддитивности оператора)

2) A(λx)=λAx (свойство однородности оператора)

Если пространство W представляет собой комплексную плоскость, то линейный оператор A, действующий из V в W, называется линейной формой или линейным функционалом.

В множестве всех линейных операторов, действующий из V в W определим операции суммы таких операторов и умножение оператора на скаляр.

Определение. Пусть A и B два линейных оператора, действующих из V в W. Суммой этих операторов называют линейный оператор A+B, определяемый равенством (A+B)x=Ax+Bx.

Определение. Произведением линейного оператора A на скаляр λ называют линейный оператор λA, определяемый равенством (λA)x=λ(Ax).

Определение. Нулевым оператором называют оператор, обозначаемый символом O и отображающий все элементы пространства V в нулевой элемент пространства W. Иными словами, оператор O действует по правилу Ox=0.

Определение. Для каждого оператора A определим противоположный оператор –A посредством соотношения –A=(-1)A. Тогда A+(-A)=0.

Множество L(V,W) Всех линейных операторов, действующих из V в W, с указанными операциями суммы и умножения на скаляр и выбранными нулевым оператором и противоположным оператором образует линейное пространство.

Определение. Тождественным (или единичным) оператором называют линейный оператор I, действующий по правилу Ix=x.

 

  1. Свойства множества линейных операторов L(V,V). Обратный оператор.

Если пространство W совпадает с пространством V, то линейный оператор, действующий в этом случае из V в V, называют также линейным преобразованием пространства V.

Введем понятие произведения линейных операторов из множества L(V,V).

Определение. Произведением операторов A и B из L(V,V) называется оператор AB, действующий по правилу (AB)x=A(Bx) (AB≠BA)







Дата добавления: 2015-09-07; просмотров: 400. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...


Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...


Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...


Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Сосудистый шов (ручной Карреля, механический шов). Операции при ранениях крупных сосудов 1912 г., Каррель – впервые предложил методику сосудистого шва. Сосудистый шов применяется для восстановления магистрального кровотока при лечении...

Трамадол (Маброн, Плазадол, Трамал, Трамалин) Групповая принадлежность · Наркотический анальгетик со смешанным механизмом действия, агонист опиоидных рецепторов...

Мелоксикам (Мовалис) Групповая принадлежность · Нестероидное противовоспалительное средство, преимущественно селективный обратимый ингибитор циклооксигеназы (ЦОГ-2)...

Метод Фольгарда (роданометрия или тиоцианатометрия) Метод Фольгарда основан на применении в качестве осадителя титрованного раствора, содержащего роданид-ионы SCN...

Потенциометрия. Потенциометрическое определение рН растворов Потенциометрия - это электрохимический метод иссле­дования и анализа веществ, основанный на зависимости равновесного электродного потенциала Е от активности (концентрации) определяемого вещества в исследуемом рас­творе...

Гальванического элемента При контакте двух любых фаз на границе их раздела возникает двойной электрический слой (ДЭС), состоящий из равных по величине, но противоположных по знаку электрических зарядов...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия