Доказательство. Докажем сначала существование оператора A
Докажем сначала существование оператора A. Для этой ели определим значение Aek этого оператора на базисных векторах ek с помощью соотношения Aek=Ʃnj=1αjkej, полагая в этом соотношении αjk равными соответствующим элементам заданной матрицы A. Значение оператора A на произвольном векторе xєA, разложение которого по базисным векторам e1, e2,…, en дается формулой x=Ʃnk=1xkek, определим по формуле Ax=Ʃnk=1xkAek. Очевидно, построенный оператор линейный и матрицей этого оператора является матрица A. Единственность оператора A, матрицей которого в базисе e1, e2,…, en является матрица A, следует из соотношения Aek=Ʃnj=1αjkej: с помощью этих соотношений единственным образом определяются значения оператора на базисных векторах. Теорема доказана.
Пусть V – линейное пространство, A - линейный оператор из L(V,V), e1, e2,…, en и e’1, e’2,…, e’n – два базиса в V и e’k=Ʃni=1uikei k=1, 2,…, n – формулы перехода от базиса {ei} к базису {e’k}. Обозначим через U матрицу uik: U=(uik) – матрица перехода от старого базиса к новому. Отметим, что rangU=n. Пусть A=(αik) и A’=(α’ik) – матрицы оператора A в указанных базисах. Найдем связь между этими матрицами. Теорема. Матрицы A и A’ оператора A в базисах {ei} и {e’k} соответственно связаны соотношением A=U-1A’U, где U-1 – обратная матрица для матрицы U, определенной равенством U=(uik).
|
