Доказательство. Докажем сначала существование оператора A

Докажем сначала существование оператора A. Для этой ели определим значение Ae_k этого оператора на базисных векторах e_k с помощью соотношения Ae_k=Ʃⁿ_j=1α^j_ke_j, полагая в этом соотношении α^j_k равными соответствующим элементам заданной матрицы A. Значение оператора A на произвольном векторе xєA, разложение которого по базисным векторам e₁, e₂,…, e_n дается формулой x=Ʃⁿ_k=1x^ke_k, определим по формуле Ax=Ʃⁿ_k=1x^kAe_k. Очевидно, построенный оператор линейный и матрицей этого оператора является матрица A. Единственность оператора A, матрицей которого в базисе e₁, e₂,…, e_n является матрица A, следует из соотношения Ae_k=Ʃⁿ_j=1α^j_ke_j: с помощью этих соотношений единственным образом определяются значения оператора на базисных векторах. Теорема доказана.

1. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.

Пусть V – линейное пространство, A - линейный оператор из L(V,V), e₁, e₂,…, e_n и e^’₁, e^’₂,…, e^’_n – два базиса в V и e^’_k=Ʃⁿ_i=1uⁱ_ke_i k=1, 2,…, n – формулы перехода от базиса {e_i} к базису {e^’_k}. Обозначим через U матрицу uⁱ_k: U=(uⁱ_k) – матрица перехода от старого базиса к новому. Отметим, что rangU=n.

Пусть A=(αⁱ_k) и A^’=(α^’i_k) – матрицы оператора A в указанных базисах. Найдем связь между этими матрицами.

Теорема. Матрицы A и A^’ оператора A в базисах {e_i} и {e^’_k} соответственно связаны соотношением A=U^-1A^’U, где U^-1 – обратная матрица для матрицы U, определенной равенством U=(uⁱ_k).