Студопедия — Доказательство. Согласно определению размерности в пространстве E найдется n линейно независимых элементов f1, f2,
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Доказательство. Согласно определению размерности в пространстве E найдется n линейно независимых элементов f1, f2,






Согласно определению размерности в пространстве E найдется n линейно независимых элементов f1, f2,…, fn. Докажем, что можно построить n элементов e1, e2,…, en, линейно выражающихся через f1, f2,…, fn и образующих ортонормированный базис (то есть удовлетворяющих соотношениям

1, при i=k

(ei,ek)=

0, при i≠k

Проведем доказательство возможности построения таких элементов e1, e2,…, en методом математической индукции.

Если имеется только один элемент f1, то для построения элемента e1 с нормой, равной единице, достаточно нормировать f1, то есть умножить этот элемент на число [(f1,f1)1/2]-1, обратное его норме. Мы получим при этом элемент e1=[(f1,f1)1/2]-1f1 с нормой, равной единице.

Считая, что m – целое число, меньше n, предположим, что нам удалось построить m элементов e1, e2,…, em, линейно выражающихся через f1, f2,…, fm попарно ортогональных и имеющих нормы, равные единице. Докажем, что к этим элементам e1, e2,…, em можно присоединить еще один элемент em+1, линейно выражающийся через f1, f2,…, fm+1, ортогональный к каждому из элементов e1, e2,…, em и имеющий норму, равную единице.

Убедимся в том, что этот элемент em+1 имеет вид em+1m+1[fm+1-(fm+1,em)em-(fm+1,em-1)em-1-…-(fm+1,e1)e1], где αm+1 – некоторое вещественное число.

В самом деле, элемент em+1 линейно выражается через f1, f2,…, fm+1 (в силу того, что он линейно выражается через e1, e2,…, em, fm+1, а каждый из элементов e1, e2,…, em линейно выражается через f1, f2,…, fm). Отсюда сразу следует, что при αm+1≠0 элемент em+1 заведомо не является нулевым (ибо в противном случае являлась бы нулевым элементом некоторая линейная комбинация линейно независимых элементов f1, f2,…, fm+1, в которой в силу em+1m+1[fm+1-(fm+1,em)em-(fm+1,em-1)em-1-…-(fm+1,e1)e1] отличен от нуля коэффициент при fm+1).

Далее из того, что элементы e1, e2,…, em попарно ортогональны и имеют нормы, равные единицы, и из соотношения em+1m+1[fm+1-(fm+1,em)em-(fm+1,em-1)em-1-…-(fm+1,e1)e1] сразу же вытекает, что скалярное произведение (em+1,ek) равно нулю для любого номера k равного 1, 2,…, m.

Для завершения индукции остается доказать, что число αm+1 можно выбрать так, что норма элемента em+1m+1[fm+1-(fm+1,em)em-(fm+1,em-1)em-1-…-(fm+1,e1)e1] будет равна единице. Выше уже установлено, что при αm+1≠0 элемент em+1, а, стало быть, и элемент, заключенный в em+1m+1[fm+1-(fm+1,em)em-(fm+1,em-1)em-1-…-(fm+1,e1)e1] em+1m+1[fm+1-(fm+1,em)em-(fm+1,em-1)em-1-…-(fm+1,e1)e1] в квадратные скобки, не является нулевым. Стало быть, для того чтобы нормировать элемент, заключенный в квадратные скобки, следует взять число αm+1 обратным положительной норме этого заключенного в квадратные скобки элемента. При этом норма em+1 будет равна единице. Теорема доказана.

Определение. Процесс ортогонализации – алгоритм построения по данной системе n линейно независимых элементов f1, f2,…, fn системы n попарно ортогональных элементов e1, e2,…, en, норма каждого из которых равна единице.

e1=f1/[(f1,f1)]1/2;

e2=g2/[(g2,g2)]1/2, где g2=f2-(f2,e1)e1;

e3=g3/[(g3,g3)]1/2, где g3=f3-(f3,e2)e2-(f3,e1)e1;

en=gn/[(gn,gn)]1/2, где gn=fn-(fn,en-1)en-1-…-(fn,e1)e1.

 

  1. Скалярное произведение в ортонормированном базисе. Смысл координат произвольного элемента в этом базисе.

Пусть e1, e2,…, en – произвольный ортонормированный базис n-мерного евклидова пространства E, а x и y – два произвольных элементов этого пространства. Найдем выражение скалярного произведения (x,y) этих элементов через их координаты относительно базиса e1, e2,…, en.

Обозначим координаты x и y относительно базиса e1, e2,…, en соответственно через x1, x2,…, xn и y1, y2,…, yn, то есть предположим, что x=x1e1+x2e2+…+xnen, y=y1e1+y2e2+…+ynen. Тогда (x,y)=(x1e1+x2e2+…+xnen, y1e1+y2e2+…+ynen).

Из последнего равенства в силу аксиом скалярного произведения и соотношений

1, при i=k

(ei,ek)=

0, при i≠k

получим (x,y)=(Ʃni=1xieink=1ykek)= Ʃni=1Ʃnk=1xiyk(eiek)=x1y1+…+xnyn.

Итак, окончательно (x,y)=x1y1+…+xnyn. Таким образом, в ортонормированном базисе скалярное произведение двух любых элементов равно сумме произведений соответствующих координат этих элементов.

Выясним смысл координат произвольного элемента x относительно произвольного ортонормированного базиса e1, e2,…, en n-мерного евклидова пространства E. Обозначим координаты элемента x относительно e1, e2,…, en через x1, x2,…, xn, то есть предположим, что x=x1e1+x2e2+…+xnen.

Обозначим далее через k любой из номеров 1, 2,…, n и умножим обе части x=x1e1+x2e2+…+xnen скалярно на элемент ek. На основании аксиом скалярного произведения и соотношений

1, при i=k

(ei,ek)=

0, при i≠k

получим (x,ek)=(Ʃni=1xiei,ek)= Ʃni=1xi(eiek)=xk. Таким образом, координаты произвольного элемента относительно ортонормированного базиса равны скалярным произведениям этого элемента на соответствующие базисные элементы. Поскольку скалярное произведение произвольного элемента x на элемент e, имеющий норму, равную единице, естественно назвать проекцией элемента x на элемент e, то можно сказать, что координаты произвольного элемента относительно ортонормированного базиса равны проекция этого элемента на соответствующие базисные элементы.

 

  1. Разложение евклидова пространства на прямую сумму подпространства и его ортогонального дополнения.

Пусть G – произвольное подпространство n-мерного евклидова пространства E.

Определение. Совокупность F всех элементов y пространства E, ортогональных к каждому элементу x подпространства G, называется ортогональным дополнением подпространства G.

Ортогональное дополнение F является подпространством пространства E (пусть y1, y2єF, то есть (y1,x)=0 и (y2,x)=0 для любых xєG. Тогда (α1y12y2,x)=α1(y1,x)+α2(y2,x)=0)

Теорема. Всякое n-мерное евклидово пространство E представляет собой прямую сумму своего произвольного подпространства G и его ортогонального дополнения F.







Дата добавления: 2015-09-07; просмотров: 394. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...

Логические цифровые микросхемы Более сложные элементы цифровой схемотехники (триггеры, мультиплексоры, декодеры и т.д.) не имеют...

Понятие о синдроме нарушения бронхиальной проходимости и его клинические проявления Синдром нарушения бронхиальной проходимости (бронхообструктивный синдром) – это патологическое состояние...

Опухоли яичников в детском и подростковом возрасте Опухоли яичников занимают первое место в структуре опухолей половой системы у девочек и встречаются в возрасте 10 – 16 лет и в период полового созревания...

Способы тактических действий при проведении специальных операций Специальные операции проводятся с применением следующих основных тактических способов действий: охрана...

Вопрос. Отличие деятельности человека от поведения животных главные отличия деятельности человека от активности животных сводятся к следующему: 1...

Расчет концентрации титрованных растворов с помощью поправочного коэффициента При выполнении серийных анализов ГОСТ или ведомственная инструкция обычно предусматривают применение раствора заданной концентрации или заданного титра...

Психолого-педагогическая характеристика студенческой группы   Характеристика группы составляется по 407 группе очного отделения зооинженерного факультета, бакалавриата по направлению «Биология» РГАУ-МСХА имени К...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.009 сек.) русская версия | украинская версия