Прямое и обратное преобразование координат при изменении базиса.

Пусть базис e₁, e₂,…, e_n преобразуется в базис e^’₁, e^’₂,…, e^’_n с помощью невырожденной матрицы A, так что обратное преобразование базисов задается матрицей

A₁₁/∆ A₂₁/∆… A_n1/∆

B= A₁₂/∆ A₂₂/∆… A_n2/∆

A_1n/∆ A_2n/∆… A_nn/∆

Пусть далее x – произвольный элемент рассматриваемого линейного пространства L, (x₁, x₂,.., x_n) – его координаты относительно первого базиса e₁, e₂,…, e_n, (x^’₁, x^’₂,…, x^’_n) – его координаты относительно второго базиса e^’₁, e^’₂,…, e^’_n, так что x=x^’₁e^’₁,+x^’₂e^’₂+…+x^’_ne^’_n=x₁e₁+x₂e₂+…+x_ne_n. Подставив в это равенство вместо элементов e₁, e₂,…, e_n их выражения, определяемые формулами,

e₁=(A₁₁/∆)e^’₁+(A₂₁/∆)e^’₂+…+(A_n1/∆)e^’_n

e₂=(A₁₂/∆)e^’₁+(A₂₂/∆)e^’₂+…+(A_n2/∆)e^’_n

e_n=(A_1n/∆)e^’₁+(A_2n/∆)e^’₂+…+(A_nn/∆)e^’_n

получим x=x^’₁e^’₁,+x^’₂e^’₂+…+x^’_ne^’_n=x₁((A₁₁/∆)e^’₁+(A₂₁/∆)e^’₂+…+(A_n1/∆)e^’_n)+x₂((A₁₂/∆)e^’₁+(A₂₂/∆)e^’₂+…+(A_n2/∆)e^’_n)+…+x_n(A_1n/∆)e^’₁+(A_2n/∆)e^’₂+…+(A_nn/∆)e^’_n). Из последнего равенства (в силу единственности разложения по базису e^’₁, e^’₂,…, e^’_n) сразу вытекает формулы перехода от координат (x₁, x₂,.., x_n) относительно первого базиса к координатам (x^’₁, x^’₂,…, x^’_n) относительно второго базиса.

x^’₁=(A₁₁/∆)x₁+(A₁₂/∆)x₂+…+(A_1n/∆)x_n

x^’₂=(A₂₁/∆)x₁+(A₂₂/∆)x₂+…+(A_2n/∆)x_n

x^’_n=(A_n1/∆)x₁+(A_n2/∆)x₂+…+(A_nn/∆)x_n

Эти формулы показывают, что переход от координат (x₁, x₂,.., x_n) к координатам (x^’₁, x^’₂,…, x^’_n) осуществляется с помощью матрицы транспонированной к обратной матрице B.

A₁₁/∆ A₁₂/∆… A_1n/∆

C= A₂₁/∆ A₂₂/∆… A_2n/∆

A_n1/∆ A_n2/∆… A_nn/∆

Вывод.

Если переход от первого базиса ко второму осуществляется с помощью невырожденной матрицы A, то переход от координат произвольного элемента относительно первого базиса к координатам этого элемента относительно второго базиса осуществляется с помощью матрицы (A^-1)^’, транспонированной к обратной матрице (A^-1).

 

1. Вещественное евклидово пространство, примеры. Неравенство Коши-Буняковского.

Определение. Вещественное линейной пространство L называется вещественным евклидовым пространством (или просто евклидовым пространством), если выполнены следующие два требования:

1. Имеется правило, посредством которого любым двум элементам этого пространства x и y ставится в соответствие вещественное число, называемое скалярным произведением этих элементов и обозначаемое символом (x,y)
2. Указанное правило подчинено следующим четырем аксиомам:

1) (x,y)=(y,x) (переместительное свойство или симметрия)

2) (x₁+x₂,y)=(x₁,y)+(x₂,y) (распределительное свойство)

3) (λx,y)=λ(x,y) для любого вещественного λ

4) (x,x)>0, если x – ненулевой элемент; (x,x)=0, если x – нулевой элемент.

Евклидово пространство называется конкретным, если природа изучаемых объектов и вид перечисленных правил указаны.